Прямая ак перпендикулярна плоскости параллелограмма abcd. оказалось, что кс перпендикулярна bd. докажите, что abcd — ромб.

(1)
1 - верно только для квадрата, но не все ромбы квадраты
2 - верно только для треугольника, но не для четырехугольника
3 - верно
(2) 
ABC равен половине центрального угла AOC, который равен сумме AOD = 150 (2*75)  и DOC = 70 (2*35). Получается ABC = (150+70)/2 = 110 градусов
(3) 
у равнобокой трапеции сумма острых углов при меньшем основании должна быть меньше 180, а при меньшем основании больше 180. По условию 104 - стало быть это сумма двух углов при большем основании. Угла равны, стало быть меньший угол равен 104/2 = 52 градуса. Тупые углы будут в этой трапеции равны 180-52 = 128 градусов, хоть об этом и не спрашивается.
(4)
Медиана BM проведенная из вершины равнобедренного треугольника совпадает с его высотой. То есть можно найти из теоремы Пифагора как катет: |BM|  = корень(25*25-7*7) = 24 

Центр тяжести треугольника находится в точке  пересечения его  медиан. которые всегда  пересекаются в одной точке.

  Расстояние от точки до плоскости измеряется длиной проведенного от точки до плоскости перпендикулярного отрезка.     

 Сделаем рисунок

АН=9, ВО=2,25, СЕ=3,75. Все три отрезка перпендикулярны плоскости альфа. 

 Проведем в ∆ АВС две медианы, точка пересечения которых - центр тяжести треугольника.

Обозначим  АМ медиану из А.  Точку пересечения медиан из А и С обозначим Т. Эта  точка – центр тяжести  ∆ АВС и  проецируется в точку Р пересечения медиан ∆ НОЕ–  проекции треугольника АВС на плоскость α. 

Четырехугольник OВСЕ - прямоугольная трапеция. МК - ее средняя линия, т.к. ВМ=МС, ОК=КЕ.

МК=(2,25+3,75):2=3

Четырехугольник АНКМ - прямоугольная трапеция. ( см. рис.2) 

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, ⇒ АТ:ТМ=2:1.

Проведем MN║КН.

AN=AH-MK=9-3=6

∆ АNM ~∆TQM, k=AM:TM=3:1 ⇒

AN:TQ=3:1

3•TQ=6⇒

TQ=2

TP=TQ+QP=2+3=5 (ед. длины) - это ответ.