Найти координаты точки пересечения плоскости, проходящей через точки a=(1; 3; -1), b=(5; 1; 1), c=(4; 2; 2) c прямой, проходящей через точки d=(5; 2; -1), e=(23; -7; 17 ответ запишите в виде "(12; -34; 5)". без пробелов.

Даны точки плоскости A=(1;3;-1), B=(5;1;1), C=(4;2;2) и точки прямой

D=(5;2;-1), E=(23;-7;17).

Находим уравнение плоскости АВС по трём точкам.

x - 1   y - 3     z + 1 |     x – 1     y - 3

4          -2             2 |        4          -2

3          -1             3 |        3          -1  =  -6(x - 1) + 6(y - 3) - 4(z + 1) -

- 12(y - 3) + 2(x - 1) + 6(z + 1) = -6x + 6 + 6y - 18 - 4z - 4 - 12y + 36 + 2x - 2 + 6z + 6 = -4x - 6y + 2z + 24 = 0.  

Сократим на -2 и получаем уравнение плоскости АВС:

2x + 3y - z - 12  = 0.

Находим уравнение прямой, проходящей через точки D и E. Вектор DE: (18; -9; 18).

(x – 5)/18 = (y – 2)/(-9) = (z + 1)/18.

Представим это уравнение в параметрическом виде:

(x – 5)/18 = (y – 2)/(-9) = (z + 1)/18 = t.

x = 18t + 5,

y = -2t + 9,

z = 18t – 1.

Подставим эти значения в уравнение плоскости АВС,

2(18t + 5) + 3(-2t + 9) – (18t – 1) - 12  = 0.

36t + 10 – 6t + 27 – 18t + 1 – 12 = 0.

12t + 26 = 0,

t = -26/12 = -13/6.

Подставим это значение в координаты прямой DE.

x = 18(-13/6) + 5 = -39 + 5 = -34,

y = -2(-13/6) + 9 = 13/3 + 9 = 40/3,

z = 18(-13/6) – 1 = -39 – 1 = -40.

ответ: точка (-34; (40/3); -40).

1) Назовем треуг. АBC. Рассмотрим его. Трег. равнобедр. значит его бок.стороны по 13 см. Проведем высоту из вершины В( не из основания, а из верхнего угла треуг.) Высота по св-тву равнобедр. треуг. явл. медианой и биссек. Значит высота ВD поделит основание АС на равные части( 10:2=5). Рассмотрим треуг. АВD. BD- катет, значит найдем его по теореме Пифагора. ( 13-5 возведем в квадрат:
169-25=144. 144 это 12 в квадрате.) BD=12. А дальше просто по формуле найдем площадь. S= 1/2 a•h S= 1/2 10•12=60
ответ:60 см2.

1. Угол между наклонной к плоскости и плоскостью - это угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. Искомый угол - угол МАО. Высота правильного треугольника равна  h=(√3/2)*a = (√3/2)*2√3=3. АО=(1/3)*h = 1 (свойство медианы). Tg(<MAO) = MO/AO = √3.

ответ: α = arctg√3 = 60°

2. Искомый угол - угол между наклонной и ее проекцией, то есть угол АВК. Sin(<ABK) = KA/KB = AC*tg60/5 = 5√3/11. <ABK = arcsin(0,787) ≈ 51,9°.

3. Опустим перпендикуляры SP и SH из точки S к сторонам АВ и АD соответственно. Прямоугольные треугольники APS и AHS равны по гипотенузе и острому углу. Значит АР=АН и АРОН - квадрат. тогда АО = АН*√2 (диагональ квадрата), АS = 2*АН (в треугольнике ASH катет АН лежит против угла 30°, а AS - гипотенуза). Косинус искомого угла (между наклонной AS и плоскостью АВСD, равного отношению проекции наклонной к наклонной) = АО/AS = АН√2/(2*АН) = √2/2.

ответ: искомый угол равен 45°.