Дано: abcd — параллелограмм, bc= 4 см, ba= 7 см, ∡ b равен 30°. найти: площадь треугольника s(abc) и площадь параллелограмма s(abcd) .

7

Объяснение:

Sabcd=BC×BA×sin 30=4×7×1/2=14 см^2(площадь паралелограма)

Sabc=1/2Sabcd=1/2×14=7 см^2(площадь триугольника)

S (ABC)  = 7 см²;  S (ABCD) = 14 см²

Объяснение:

Площадь параллелограмма

S (ABCD) = AB · BC · sin 30° = 7 · 4 · 0.5 = 14 (см²)

Площадь треугольника

S (ABC) = 0,5  · S (ABCD) = 0,5 · 14 = 7  (см²)

Рассмотрим диагональное сечение призмы, оно будет представлять из себя прямоугольник вписанный в окружность радиуса R, так как диагональ призмы будет являться его диаметром , то D = 2R

угол, который образует диагональ призмы с боковой гранью, равен углу, который образует диагональ призмы с диагональю боковой грани (так как последняя является ее ортогональной проекцией) 

теперь рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей черз диагональ призмы и диагональ боковой грани призмы : это сечение - прям. треугольник.
находим диагональ боковой грани:
d = cosα * D = 2R* cosα

находим ребро основания из того же прямоуг. треугольника:
l = sinα * D = 2R * sinα

высота нашей призмы равна боковой грани, а ее мы можем найти пот. Пифагора, зная d и l:
h = √ (d² - l²) =√(4R² *cos²α - 4R²* sin²α) = 2R√(cos²α - sin²α)

1. S =  25,5 дм².

2. Cosα = 0,96.

Объяснение:

1. Построим сечение. Для этого проведем из точки О (пересечение диагоналей основания пирамиды - прямоугольника) луч, параллельно боковому ребру AS и на пересечении этого луча с боковым ребром CS обозначим точку Р.  Соединив точки В и D с точкой Р, получим треугольник BPD -- сечение пирамиды, проходящее через диагональ BD параллельно боковому ребру AS (так как луч ОР лежит в плоскости сечения и параллелен ребру AS).

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

По Пифагору АС = BD = √(6²+8²) = 10 дм.  ОС = АО = BO = OD = 5 дм.

Треугольники ASC и OPC подобны (OP║AS) c коэффициентом подобия k=OC/AC = 1/2. =>  PC = SC/2.

Опустим из точки Р перпендикуляр РН.

Треугольники OSC и HPC подобны (PH║OS)  c коэффициентом подобия k=PC/SC = 1/2.  =>  PH  = SO/2,  НС = ОС/2.

Проведем из точки С перпендикуляр СТ к диагонали BD.  Это высота прямоугольного треугольника BCD, проведенная из прямого угла и по ее свойству CТ = BC*CD/BD =  8*6/10 = 4,8дм.

Проведем из точки Н прямую HQ, параллельно СТ. Тогда HQ⊥BD и по теореме о трех перпендикулярах PQ⊥BD и является высотой треугольника BPD.

Треугольники OCТ и OHQ подобны (HQ║CT) c коэффициентом подобия k=PC/SC = 1/2.  =>  HQ  = CT/2 = 4,8/2 = 2,4 дм.

По Пифагору PQ = √(HQ²+PH²) = √(2,4²+4,5²) = √26,01 = 5,1 дм.

Площадь сечения равна S = (1/2)*10*5,1 = 25,5 дм².

2. Определение: Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. АВ1 и СD1 скрещивающиеся прямые по определению.

Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся.

Проведем диагональ А1В грани АА1В1В. A1B параллельна СD1 как соответствующие диагонали противоположных граней параллелепипеда. АВ1 и А1В - скрещивающиеся прямые. Следовательно, искомый угол - это угол между прямыми АВ1 и А1В. Боковая грань АА1В1В - прямоугольникб диагонали которого пересекаются в точке О и этой точкой делятся пополам. Диагонали равны между собой и по Пифагору равны √(АА1²+АВ²) = √(6²+8²) = 10 ед. Тогда АО = А1О = 5 ед.  АА1 = 6 ед. (дано).

Найдем косинус этого угла по теореме косинусов:

Cosα = (AO²+A1O² - AA1²)/(2*AO*AO) = (5²+5²-6²)/(2*25) = 14/50 = 0,28.

Тогда по известной формуле

Sinα = √(1 - Cos²α) =  √(0,9216) = 0,96.