Даны три вершины треугольника а(1; 4), в(3; -9) и с(-5; 2 определить длину медианы, проведенной из вершины в.​

модераторов не удалять задачу. Условие в ней дано с ошибкой. Причем эта задача  даже на учительском ресурсе Фестиваль  дана с таким же ошибочным условием. 
Т.к. медиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то гипотенуза равна 2*10=20 см. 
Если  из  площади находить высоту этого треугольника по формуле 
S=a*h:2, то 
h= 2S:а
h=560:20=28 см при том, что гипотенуза равна 20, чего не может быть. 
---------------
При площади данного треугольника равной 28 см²
h=56:20=2,8 см
Тогда неважно, какой катет будет избран для того, чтобы определить расстояние от его середины до гипотенузы.
Искомое расстояние ( см. рисунок) ВС в треугольнике НАМ или ТР в треугольнике КАН будет равным половине высоты, проведенной из прямого угла к гипотенузу КМ, т.к. является средней линией каждого из этих треугольников. 
Т.е. расстояние от середины любого катета до гипотенузы равно
  2,8:2=1,4 см

Пирамида, в основании равносторонний треугольник АВС, ВН-высота треугольника, точка О центр - пересечение высот(медиан биссектрис), ОК-высота пирамиды, КН-апофема, АН-ребро=6, tg углаКНО=2*корень11, ОК=ОН*tgКНО=ОН*2*корень11, проводим высоту АМ, треугольник АКО - ОК=корень(АК в квадрате-АО в квадрате)=корень(36-АО в квадрате), треугольникАОН, уголОАН=60/2=30, АО=2*ОН

ОН*2*корень11 = корень(36-4*ОН в квадрате), две части в квадрат

44*ОН в квадрате=36 - 4*ОН в квадрате, 48*ОН в квадрате=36, ОН=корень3/2

ВН=ОН*3=корень3*3/2=3*корень3/2, АС=2*ВН*корень3/3 = 2*корень3*корень3/3*2=1