Во сколько раз площадь квадрата, вписанного в круг, меньше площади квадрата, описанного около этого круга?

пусть первый квадрат описан  около  круга, а второй - вписан в него. в первом случае диаметр  круга равен стороне  квадрата, во втором - диагонали. в квадрате отношение диагонали к стороне равно корню из 2, тогда диагональ первого  квадрата  больше диагонали второго в корень из 2  раз, тогда сторона первого  квадрата  больше стороны второго в корень из 2  раз, а  площадь  первого больше  площади  второго в 2  раза

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и являются биссектрисами своих углов. так как р = 36 см, то сторона ромба а = 9 см меньшая диагональ ромба лежит напротив меньших углов. тогда имеем прямоугольный треугольник с гипотенузой 9 см и углом 30°, причем напротив этого угла лежит катет, являющийся половиной искомой диагонали. катет, лежащий напротив угла в 30° равен половине гипотенузы. тогда его длина равна 4,5 см и полная меньшая диагональ ромба равна 9 см. можно и по-другому. так как острый угол равен 60°, значит второй угол равен 120°. меньшая диагональ ромба делит этот угол пополам, как биссектриса. тогда имеем треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю. в этом треугольнике угол при вершине равен углам при основании, значит этот треугольник равносторонний => меньшая диагональ ромба равна 9 см

Площадь боковой поверхности конуса s =  πrl (r-радиус основ.,  l- образующая) в нашем случае s = 2√2π  ⇒ rl = 2√2 высота, образующая(l) и радиус основ.(r) образуют прям. треугольник раз  образующая наклонена к плоскости основания под углом 45, то r/l = cos45  =  √2/2  имеем систему  {rl = 2√2 {r/l =   √2/2  решив эту систему получаем   l = 2,   r =  √2 площадь сечения s = 1/2 * l² * sin30 = 1/2 * 4 * 1/2 = 1 ответ: а)1             б)  √2