Дана трапеции авсв с основаниями bc и аd. точки m и n — середины сторон ав и сd соответственно. окружность, проходящая через вершины а и d, пересекает отрезок вм в точке l, а отрезок сn — в точке к (l, к отличны от концов отрезков а)докажите‚ что углы вск н вlк в сумме составляют 180°. б) найдите кn. если известно, что ак перпендикулярна вк, ав = 29, вс = 8

Рассмотрим основание:в образованном треугольнике MON: OM = ON как радиусы, следовательно, треугольник равнобедренный, угол MON = 60 градусов по условию, углы OMN и ONM равны как углы равнобедренного треугольника по основанию, то есть <OMN = <ONM = (180-60)/2 = 120/2 = 60 градусов. Все углы треугольника равны по 60 градусов, следовательно, треугольник - правильный, и OM = ON = MN = r. Найдем высоту ОК: из прямоугольного треугольника OKN: из теоремы Пифагора: OK^2 = ON^2 - KN^2, ON = r, KN = r/2, поскольку в правильном треугольнике высота является и медианой, OK^2 = r^2 - (r/2)^2 = r^2 - r^2/4 = 3r^2/4, OK = корень из 3 умножить на r поделить на 2. Рассмотрим треугольник CON: из теоремы Пифагора: CO^2 = CN^2 - ON^2, из вычислений на картинке CO = корень из (l^2 - r^2) поделить на два. Рассмотрим треугольник СОК: за теоремой Пифагора: CK^2 = CO^2 + OK^2, из вычислений СК =  корень из (4l^2 - r^2) поделить на 2. Площадь образовавшегося сечения - это площадь треугольника CMN, которая равна стороне, умноженной на опущенную к ней высоту разделить на 2: S = CK*MN/2. S = (r*корень из ( 4l^2 - r^2)/8.
Аналогично по первому решению, во втором случае углы OMN и ONM = (180 - 90)/2 = 45 градусов. Тогда по теореме синусов: MN/sin90 = ON/sin45, MN = корень из 2 умножить на r. Из треугольника CON: CO = корень из (l^2 - r^2). Площадь второго треугольника равна r умножить на корень из (4*l^2 = 2r^2)/2) поделить на 2.

A) Дано: конус, АВ=l,  OA=OB=r,  АВ - хорда, ∠BOA=60°
найти: S ΔAOB
Решение:
SΔ = 1/2*a*h = 1/2*AB*SK
AB= r. SK ищем из ΔАSK по т Пифагора:
SK² = l² - (r/2)² = l² - r²/4= (4l² -r²)/4
SK = √(4l² - r²) /2
S сеч. = 1/2*r*√(4l² - r²) /2 = r*√(4l² - r²) /4
б)  Дано: конус, АВ=l,  OA=OB=r,  АВ - хорда, ∠BOA=60°
найти: S ΔAOB
Решение :
SΔ = 1/2*a*h = 1/2*AB*SK
АВ ищем из ΔАВО по т. Пифагора: АВ² = r² + r² = 2r², AB = r√2
SK ищем из ΔАSK по т Пифагора:
SK² = l² - (r√2/2))² = l² -2 r²/4= (4l² -2r²)/4
SK = √(4l² -2 r²) /2
S сеч. = 1/2*r*√(4l² -2 r²) /2 = r*√(4l² -2 r²) /4