Основа трикутника 5 см, висота проведена до цієї основи, дорівнює 3 см. у трикутник вписаний квадрат, так що дві його вершини лежать на основі, а дві інші на бічних сторонах. обчислити периметр квадрата.

) Смотри рисунок. Рассмотрим два прямоугольных треугольника АВВ1 и ДСС1.

углы АВВ1=ДСС1=90 градусов; углы ВАВ1=СДС1; ВВ1=СС1(как высоты в трапеции). Как известно, для подобия прямоугольных треугольников достаточно, чтобы они имели по равному острому углу и равному катету ⇒ ΔАВВ1=ΔДСС1 ⇒ АВ=СД⇒

трапеция АВСД - равнобедренная.

б) Смотри рисунок. Пусть точка пересечения диагоналей - это О.

Рассмотрим треугольники АВО и ДСО.

Углы АОВ=ДОВ( как вертикальные); по условию ВД=АС, точка О - точка пересечения⇒ ВО=ОС и АО=ОД.

По первому признаку равенства треугольников ΔАВО=ΔДСО⇒АВ=СД⇒трапеция

АВСД - равнобедренная.

В сечении получается равнобокая трапеция.

Вершины верхнего основания этой трапеции лежат на серединах боковых рёбер.

Находим длину бокового ребра L.

L = √(H² + (d/2)²) = √(8² + (4√2)²) = √(64 + 32) = √96 = 4√6 см.

Находим длину боковой стороны трапеции "в".

Для этого находим косинус угла при основании боковой грани.

cos A = (a/2)/L = 4/(4√6) = 1/√6 = √6/6.

Тогда в = √64 + 24 - 2*8*2√6*(√6/6)) = √56 = 2√14 см.

Теперь можно определить высоту трапеции h.

h = √(в² - ((8 - 4)/2)²) = √(56 - 4) = √52 = 2 √13 см.

Получаем ответ: S = h*lср = 2√13*6 = 12√13 см².