Дан шар радиуса r. плоскость, пересекающая диаметр шара под углом 60°, делит этот диаметр в отношении 3: 1. на какие части(по площади) разделилась при этом поверхность шара?

Основание квадрат, следовательно два измерения равны)))
суммарная длина ребер основания: 8а
осталось четыре высоты параллелепипеда: 4h
8a + 4h = 4(2a + h) ---> (2a + h) должно быть минимально)))
параллелепипед прямой ---> боковые грани --прямоугольники
Sполн.пов. = 2Sосн. + Росн.*h = 2*a² + 4a*h = 600
a² + 2ah = 300
h = (300 - a²) / (2a) = (150/a) - (a/2)
2a + (150/a) - (a/2) должно быть минимально)))
(3a/2) + (150/a) = f(a) можно исследовать на экстремум
f ' (a) = 1.5 - 150 / a² = 0
a² = 150 / 1.5 = 100
a = +-10 отрицательное решение смысла не имеет)))
a = 10
h = (150/10) - (10/2) = 10
наименьшая суммарная длина всех ребер = 80+40 = 120

1) отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований. С другой стороны, он же является частью средней линии.

2) Пусть основания трапеции a и b. Тогда: (a-b)/2=12.

3) Т.к. средняя линия равна полусумме оснований, то (a+b)/2=24 (по условию)

4) Из двух вышеприведённых равенств составим систему: {a-b=24; a+b=48}. 2a=72; a=36; b=12

5) треугольники KAN подобен LAM (KN||LM)

6) LN/KN = 12/36 = 1/3; AL/AK = AM/AN = 1/3 (из подобия)

7) AK - AL = 10; AN - AM = 26 (боковые стороны в условии)

8) Из (6) и (7): AL=5; AM=13

9) треугольник ALM - прямоугольный (его стороны 5; 12 и 13 удовлетворяют теореме Пифагора)

10) Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен:

r=(a+b-c)/2, в нашем случае: r=(5+12-13)/2=4/2=2