Составьте уравнение образа окружности x²+y²-10x+12y=0 при повороте на 270° против часовой стрелки относительно начала координат.

ответ: x²+y²+12x+10y=0

Объяснение:

нужно понять в какую точку перейдет центр окружности при таком повороте)

выделим полные квадраты...

x²-10х +25-25 +y²+12y +36-36=0

(x-5)² + (y+6)² = 25+36

координаты центра данной окружности (5; -6); при повороте радиус окружности не изменится (r²=61), а центр переместится в точку с координатами (-6; -5)

осталось составить уравнение новой окружности:

(x+6)² + (y+5)² = 61

x²+12х+36 +y²+10y+25-61=0

x²+12х+y²+10y=0

1. 13

Объяснение:

1.

Проведём FH перпендикулярно DE следовательно треугольник FHE прямоугольный.Треугольник DCE прямоугольный следовательно треугольник FCE тоже прямоугольный.

EF- биссектриса следовательно угол 1 = углу 2.Следовательно FHE= FCE(по острому углу) следовательно FH=FC=13

ответ: 13

2.

Строим острый угол В. Из вершины угла проводим окружность радиусом равным катету, и отмечаем точку пересечения А. Так как треугольник — прямоугольный, то восстанавливаем перпендикуляр из точки А. Полученная точка пересечения С. Соединяем попарно вершины треугольника. Искомый треугольник построен.

(Рисунок в закрепе)

3.

 Пусть ABCD - прямоугольная трапеция, в которую вписана окружность с центром в т. О.

ВС - основание трапеции
AD - основание трапеции
∠A = 90°
DE = 16 см
AE = AM = BM = BK = KO = MO = EO = r = 12cм

AD = AE + DE

AD = 12 + 16 = 28 (cм)

В прямоугольном треугольнике ODE:
катет OE = 12см 
катет DE = 16 см
OD - гипотенуза
по теореме Пифагора
OD² = OE² + DE²
OD² = 12² + 16² = 400
OD = √400 = 20 (см) 

Свойство касательных: Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности ⇒ 
⇒ ED = FD = 16cм и CK = CF как отрезки касательных, ОD - биссектриса ∠ADC, OC - биссектриса ∠BCD

Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне равна 180° ⇒
 ∠BCD + ∠ADC = 180° ⇒ ∠DCO + ∠CDO = 180 / 2 = 90 (°)
Сумма углов треугольника равна 180° ⇒ 
⇒ ∠COD = 180 - (∠DCO + ∠CDO ) = 180 - 90 = 90(°)
В прямоугольном треугольнике COD

∠OCD= 180 - 90 - ∠CDO ⇒ ∠OCD = 90 - ∠CDO

В прямоугольном треугольнике OFC

∠OCF = 180 - 90 - ∠COF = 90 - ∠COF ⇒ ∠CDO = ∠COF 

В прямоугольном треугольнике DFO

∠DOF = 180 - 90 - ∠CDO = 90 - ∠CDO = ∠OCD 

Треугольники DFO u OFC подобны по трем углам 

∠DFO = ∠OFC = 90° т.к. радиус окружности, проеведенный в точку касания, перпендикулярен касательной 

∠CDO = ∠COF

∠DOF = ∠OCD 

У подобных треугольников углы равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. ⇒ 

DO : OC = DF : OF = OF : CF

20 : OC = 16 : 12 = 12 : CF

16 : 12 = 12 : CF

Свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних

16СF = 12*12

16CF = 144

CF = 144 / 16

CF = 9 (cм), тогда CK = 9 см

BC = BK + CK

BC = 12 + 9 = 21 (cм)

Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, ее площадь равна произведению оснований.

S = AD * BC

S = 28 * 12 = 336 (см²)

(не смогла нарисовать ровные дужки для обозначения равных углов, поэтому обозначила их цифрами)