Найти работу, производимую силой (fx , fy) вдоль дуги параболы y=x^2 от точки с абсциссой x=0 до точки с абсциссой x=1. fx=5x–8y+2, fy=9x+7y–3.

Объяснение:

1. ОДЗ: х ∈ R

или х ∈ (-∞; +∞)

2. Четность, нечетность.

y(-x) = y(x) ⇒ четная

3. Пересечение с осями.

1) х = 0 ⇒ у = 2

2) у > 0 ⇒ ось 0х не пересекает.

4. Асимптоты.

1) Вертикальных асимптот нет.

2) Наклонная:  y = kx + b

y = 0 - горизонтальная асимптота.

5. Возрастание, убывание, экстремумы.

Найдем производную:

Приравняем к 0 и найдем корни:

Найдем знаки производной на промежутках. Если "+" - возрастает, "-" - убывает.

Возрастает при х ∈ (-∞; 0]

Убывает при х ∈ [0; +∞)

См. рис.

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка.

Приравняем к 0 и найдем корни:

Заменим переменную:

t > 0 ⇒ x² = 1

x₁ = 1;   x₂=-1

Найдем знаки второй производной на промежутках.

( См. рисунок.)

x перегиба = ±1

При х ∈ (-∞; -1] ∪ [1; +∞) - вогнута;

при х ∈ [-1; 1] - выпукла.

Строим график.

Объяснение:

Дано: ABCD - параллелограмм, ∠BAD < 90°, AH ⊥ BC, AK ⊥ CD, AB = 5,

AC = 15, AH = 3

Найти: HK - ?

Решение: Так как по условию AH ⊥ BC, то угол ∠AHC = 90°, тогда для прямоугольного треугольника ΔAHB по теореме Пифагора: . Также так как  угол ∠AHC = 90°, то треугольник ΔAHC - прямоугольный. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAHC. По теореме Пифагора: .

По основному свойству отрезка:

По свойствам параллелограмма (ABCD) его противоположные стороны равны, тогда AB = CD = 5, .

По формуле площади параллелограмма:

. Рассмотрим треугольник прямоугольный (так как по условию  AK ⊥ CD, то угол ∠AKC = 90°) треугольник ΔAKC. По теореме Пифагора:

. По формуле площади параллелограмма:

. По свойствам параллелограмма его противоположные углы равны, тогда ∠BAD = ∠BCD, так как по условию ∠BAD < 90°, то и угол ∠BCD < 90°, следовательно

cos ∠BCD > 0. По основному тригонометрическому тождеству:

. По теореме косинусов для треугольника ΔHCK:

.