Дан треугольник abc, если bc = 3 см, ac = 4 см, cos = -11/24, то Рabc =​

Здесь есть одна хитрость, позволяющая не проводить длинные, хотя и несложные вычисления. Для еще большей "прозрачности" решения я увеличу размеры сторон в 2 раза (площадь всего треугольника и треугольника вдл увеличатся при этом в 4 раза).

Итак, треугольник имеет стороны 13, 14, 15.  

Такой треугольник можно "составить" из двух прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон (то есть из двух Пифагоровых треугольников). Надо взять треугольники со сторонами 5, 12, 13 и 9, 12, 15 и совместить одинаковые катеты 12 так, чтобы катеты 5 и 9 вместе образовывали сторону 14. 

( Еще раз - получается, что высота вд делит треугольник на два Пифагоровых, и, следовательно, высота к стороне 14 равна 12. Площадь всего треугольника равна 84. Конечно, все это можно сосчитать, составляя уравнения для длин сторон с использованием теоремы Пифагора. Площадь всего треугольника можно сосчитать по формуле Герона. Но так быстрее и понятнее :))

У треугольника вдл та же высота 12, и надо найти дл. 

По свойству биссектрисы

сл = 14*15/(13+15) = 15/2;

сд = 9 (смотри самое начало :))

Отсюда дл = 1,5.

Sвдл = 12*1,5/2 = 9.

А если вспомнить, в самом начале все размеры были увеличены в 2 раза (а площади - в 4) то ответ 9/4;

Пусть середина A1C1 = K

сечение проходит через B,A и K => первая сторона сечения=AB, вторая=AK

из точки K должна пойти прямая || AB => || и A1B1, т.е. получим отрезок KD (D лежит на B1C1), KD || A1B1 и проходит через середину A1C1 => KD - средняя линия треугольника A1B1C1

KD = 1/2 * A1B1 = 1/2 * AB = 1/2 * 6 = 3

и четвертая сторона сечения BD

получился четырехугольник AKDB, в кот. AB||DK => AKDB - трапеция

S трапеции = 1/2 * (BA+DK) * KF (KF - высота трапеции)

из треуг. AA1K по т.Пифагора AK = корень(AA1^2 + A1K^2) = корень(4*4 + 3*3) = корень(16+9) = корень(25) = 5 (AA1 = 4 - боковое ребро, A1K = 1/2 * A1C1 = 1/2 * 6 = 3)

AK - боковая сторона трапеции (сечения), трапеция равносторонняя => в треугольнике AFK FA = (AB-DK)/2 = (6-3)/2 = 3/2 => высота трапеции из прямоугольного треуг. AFK по т.Пифагора FK = корень(AK^2 - FA^2) = корень(5*5 - 9/4) = корень(25 - 9/4) = корень(91/4) = корень(91)/2

S = 1/2 * (6 + 3) * корень(91)/2 = 9*корень(91)/4

Надеюсь, нигде не ошиблась...