20 см и 15 см – длины сторон треугольника. Угол между данными сторонами равен 60°. Найдите длину третьей стороны треугольника.

Решение приведено на листочке

Если забыты  формулы, решить задачи можно с теоремы синусов.  
 Для радиуса описанной окружности. 
Разделим пятиугольник на пять равных равнобедренных треугольников, соединив центр окружности с вершинами фигуры.
Боковыми сторонами треугольника будут радиусы описанной окружности. Уго при вершине такого треугольника (при центре окружности) равен
 360° :5=72° 
Угол при основании ( стороне пятиугольника) равен (
180°-72°):2=54°, и этому углу противолежит радиус описанной окружности. 
По теореме синусов 3:(sin 72°) равно отношению боковой стороны к синусу 54°. 
 Но боковая сторона здесь радиус.
Следовательно,
 3:(sin 72°)=R:(sin 54°) 
3:0,951=R:0,8090
 R*0,951=3*0,8090
 R=3*0,8090:0,951= ≈2,55 см

Для радиуса вписанной окружности. 
Разделим пятиугольник на пять равных равнобедренных треугольников.
Проведем из центра окружности к стороне пятиугольника ( основанию треугольника) высоту, которая в равнобедренном треугольнике и медиана,  и биссектриса и радиус вписанной окружности прятиугольника.  Внутренний ( для окружности - центральный) угол  такого треугольника  равен 360°:5=72° 
Высота ( биссектриса) делит его на углы по 36°, а равнобедренный треугольник - на два прямоугольных треугольника с меньшим катетом, равным половине стороны пятиугольника и противолежащим углу 36°. Тогда tg (36°)=(3:2):r 
r=1,5:0,7265=  ≈2,06 см

Рассмотрим трeугольники BCO и ABO:

BO - общая, угол COB=AOB, CO=OA( по условию)

Следовательно СOB=AOB

Значит, если они равны, то все их углы и стороны соотвественно равны, то есть BC=BA. Получается, что треугольник CBA-равнобедренный. Прямая BO-высота и серединный перпендикуляр т.к. по св-ву равнобедренного треугольника высота является медианой и биссектрисой.ч.т.д.

1) Первый Рассмотрим треугольник BB1A (пусть B1 - точка лежащая на пересечении прямой со стороной AC). Угол BB1A=90 градусов. Следовательно угол B1BA= 90-55=35.

Т.к. треугольник CBO=AOB, угол OBA=OBC=35 градусов. Угол CBA= 35+35=70 гр

Следовательно угол BCA=180-угол CAB-угол ABC=180 гр-55гр-70 гр=55 гр

2) Второй т.к BCA-равнобедренный, следовательно углы при основании у него равны. Угол CAB=BCA=55 гр

ответ:55 гр