В треугольнике АС=13 см и высатой ВД= 10 см вписан квадрат КЛМН так, что сторона КН лежит на основании АС, а вершины Л и М - соответственно на сторонах АВ и ВС. Определите длину стороны квадрата (ответ запишите в виде неслкращённое дроби)

Для решения данной задачи мы можем использовать свойства вписанных фигур.

Обозначим точку пересечения высоты ВД и основания АС как Е.

Поскольку высота ВД является перпендикуляром к основанию АС, то треугольник ABC является прямоугольным с гипотенузой АС и катетами АВ и ВС.

Также, так как квадрат КЛМН вписан в треугольник ABC, то сторона КН будет параллельна основанию АС и перпендикулярна сторонам АВ и ВС.

Из этих свойств мы можем сделать следующие выводы:

1. Треугольник АВЕ подобен треугольнику АСВ по соответственным углам, так как угол ВАЕ будет прямой, угол В лежит на прямой ВД, а угол A лежит на подпрямой ДЕ.

2. Также, треугольник КНЕ подобен треугольнику ЕВС, их соответственные углы будут равны, так как сторона КН параллельна сторонам АВ и ВС (эти углы обозначены α).

Зная эти свойства, мы можем найти отношение сторон АВ и ВС.

Из треугольника АВЕ следует:

sin α = ВЕ / АВ

sin α = ВД / АС

sin α = 10 / 13

Аналогично, из треугольника КНЕ следует:

sin α = КН / ЕВ

sin α = КН / ВС

sin α = КН / 13

Теперь мы можем сравнить два уравнения:

10 / 13 = КН / 13

Перекрестное умножение будет:

10 × 13 = КН

130 = КН

Таким образом, длина стороны квадрата КЛМН равна 130 см.

В самом начале мы обозначили, что сторона квадрата КЛМН обозначается как "х", следовательно, ответ может быть записан в виде несократимой дроби: х = 130/1 = 130 см.