Рассчитай расстояние вершины куба до диагонали куба, которая не проходит через эту вершину, если ребро куба — 51 см.

Сечение конуса - ΔАВС с основанием АС=6√3 - хорда.
равнобедренный ΔАОС (О - центр основания конуса): АО=ОС=R, <AOC=120°, <OAC=<OCA=30°, OM_|_AC, ОМ - высота, медиана ΔАОС, ⇒АМ=3√3. 
tg30°=OM:AM. 





по условию, секущая плоскость составляет с плоскостью основания угол 45°, ⇒ линейный угол ВАСМ - угол ВМО=45°. высота конуса Н=ОМ=3


ответ: Vк=20,25π

2. MABCD - правильная пирамида с диагональю основания АС=d, угол между боковым ребром МА и плоскостью основания <MAC= α 
MO_|_(MABCD), МО - высота пирамиды.
прямоугольный ΔМОА: ОА=d/2, <A=α. tgα=MO:OA, MO=tgα*OA
MO=d*tgα/2

Vпир=(1/3)*Sосн*H
Sосн=a², a- сторона основания пирамиды
диагональ пирамиды найдена по теореме Пифагора из ΔАВС: АС²=АВ²+АС²
АВ=АС=а
d²=a²+a², d²=2a². d=a√2, ⇒a=d/√2
S=(d/√2)²=d²/2
Vпир=(1/3)*(d²/2)*(d*tgα/2)
Vпир=(d³ *tgα)/12

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между векторами:

a)AB и AD    , б)BB1 и CC1    , в)AC1 и A1D1

Объяснение:

Углы между векторами  а)∠АВ,АD=90°, т.к все грани куба являются квадратами.

б) ∠ВВ₁,СС₁=0°, т.к эти  вектора лежат на параллельных прямых.

в) ∠АС₁,А₁D₁=arcctg√2.

Т.к. вектор А₁D₁=AD , то найдем угол ∠АС₁,АD

Из ΔВСС₁ -прямоугольный. Пусть ребро куба а, тогда по т. Пифагора

ВС₁=а√2.

По т. о трех перпендикулярах если проекция ВС перпендикулярна , прямой лежащей в плоскости АВ, то и наклонная С₁В  перпендикулярна прямой лежащей в плоскости АВ⇒ ΔАВС₁-прямоугольный .

tg∠С₁FD=BС₁/AB  или tg∠С₁FD=а√2/а , tg∠С₁FD=√2 , ∠С₁FD=arctg√2,

а значит у угол между векторами ∠АС₁,А₁D₁=arcctg√2.