В1. Дана окружность с центром в точке О. Хорды МР и СК пересекаются в точке В так, что СВ = 8, ВК = 9, РВ в 2 раза больше ВМ. Найдите МР.

Для решения данной задачи посмотрим на основные свойства окружностей и хорд.

1. Свойство 1: Центр окружности лежит на перпендикулярной биссектрисе хорды.
Это свойство означает, что прямая, проходящая через центр окружности и середину хорды, является перпендикуляром к этой хорде и делит ее пополам. Из данного свойства следует, что ВМ = МР.

2. Свойство 2: Вертикальные углы равны.
Это свойство означает, что угол МРК равен углу ВКС.

Теперь решим задачу.

Из свойства 1 мы знаем, что ВМ = МР. Заметим, что РВ в 2 раза больше ВМ. Тогда РВ = 2 * ВМ.

Из свойства 2 мы знаем, что угол МРК равен углу ВКС.

Так как треугольники ВКС и МРК имеют две равные стороны (ВК = 9, ВС = 8), они подобны (по свойству SSS - сторона-сторона-сторона).
Мы знаем, что отношение длин сторон в подобных треугольниках равно отношению длин соответствующих сторон, поэтому можем записать следующее:

МР / ВК = ВМ / ВС

Так как ВМ = МР, можем записать:
МР / ВК = МР / ВС

Перепишем это уравнение в виде пропорции:
МР / 9 = МР / 8

Распишем пропорцию:
8 * МР = 9 * МР

8МР = 9МР (умножение обеих частей на 8)

9МР - 8МР = 0

МР = 0

Теперь мы можем подставить найденное значение МР в исходное уравнение и найти его значение:
МР = ВМ = ВК / 2 = 9 / 2 = 4.5

Таким образом, длина хорды МР равна 4.5.