Площадь треугольника ABC равна 24 см^2. АВ=3см, АС= 8см. Найдите величину угла ВАС.

Решение: Пусть О – центр окружности, пусть Р – ближняя из точек пересечения окружности и отрезка АО. Пусть N – точка пересечения

Тогда прямоугольные треугольники OAC и ОAB равны за катетом и гипотенузой(ОF=ОA, ОC=ОB – как радиусы).Значит из равности треугольников,AC=AB

угол АOC=угол AOB(то же самое угол РOC=угол РOB)

угол  OAC=угол OAB(то же самое угол  OРC=угол OРB ), значит АP – биссектриса угла А,(то же самое, что AN - биссектриса угла А )

AC=AB – значит треугольник ABC – равнобедренный

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, есть его высотой и медианой

треугольник ABC – равнобедренный, AN - биссектриса угла А, значит

угол ANB= угол ANC=90 градусов

треугольник BOP – равнобедренный (BO=OP – как радиусы),

значит угол PBO= угол BPO

Пусть угол BOA= угол BOP= угол BON=х.

Сумма углов треугольника равна 180.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.

Тогда с треугольника BOP

 угол PBO= угол BPO=(180 -х)\2=90-х\2

с треугольника AOB угол OAB=90-х

угол ABP= угол OAB- угол PBO=90-х-(90-х\2)=x\2

угол PBN=90-угол OAB- угол ABP=90-(90-x)-x\2=x\2

угол ABP= угол PBN, значит BP – биссектриса угла B.

Итак, точка P- точка пересечения биссектрис треугольника ABC, что и требовалось доказать.

ответ:  АК = СК = 5 см

Объяснение:

ВК⊥α, тогда АК и СК - проекции боковых сторон треугольника АВС на плоскость α.

Пусть Н - середина АС. Тогда ВН - медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, значит является и высотой,

ВН⊥АС,

КН - проекция ВН на плоскость α, значит КН⊥АС по теореме о трех перпендикулярах, тогда

∠ВНK = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостью АВС и плоскостью α.

ΔАВН:   ∠АНВ = 90°, АВ = √73 см, АН = АС/2 = 3 см,

             по теореме Пифагора

             ВН = √(АВ² - АН²) = √(73 - 9) = √64 = 8 см

ΔВКН:   ∠ВКН = 90°,

             cos∠BHK = KH / BH

              KH = BH · cos∠BHК = 8 · 1/2 = 4 см

ΔАКН:   ∠АНК = 90°, по теореме Пифагора

              АК = √(КН² + АН²) = √(16 + 9) = √25 = 5 см

Если равны наклонные, проведенные из одной точки, то равны и их проекции:

СК = АК = 5 см