В четырёхугольнике ABCD ∠A=∠B∠D>∠CДокажите, что АD<ВС

Вписанные углы РMN и KNM опираются на равные хорды. Следовательно, дуги, стягиваемые этим хордами, равны. Вписанные углы, опирающиеся на равные  дуги (или на равные хорды), равны.  

∠РMN=∠KNM 

Проведем хорды МР и КN.  

В треугольниках MPN и MKN вписанные ∠Р = ∠К (опираются на диаметр).⇒

 Прямоугольные ∆ МРN=∆ MKN по острому углу и общей гипотенузе. 

Отсюда следует равенство PNM=KMN 

Эти углы - накрестлежащие при пересечении РN и  MK  секущей MN.   

Если при пересечении двух прямых секущей накрестлежащие углы равны. эти прямые - параллельны. Доказано. 

Властивість 1. Висота прямокутного трикутника рівна проекції катетів на гіпотенузу. Мовою формул, твердження еквівалентне запису
СD*СD = АD ∙ DВ

Властивість 2. Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним гіпотенузі і проекції цього катета на гіпотенузу
AC*AC=AB*AD;
BC*BC=AB*BD.
Добре розберіться, за що відповідають формули –наведені далі задачі будуть для Вас більш зрозумілі.

 

Задача 1. Висота прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на два відрізки 4 см і 9 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до гіпотенузи та його площу.

Розв'язання: Виконаємо побудову трикутника за даними

За 1 властивістю висота рівна

Гіпотенузу знаходимо через суму відрізків
AB=AD+BD=4+9=13 (см).
Площа трикутника рівна половині добутку основи на висоту. Виконуємо обчислення

Відповідь: Площа рівна 39 сантиметрів квадратних.

 

Задача 2. Площа прямокутного трикутника рівна 6 метрів квадратних. Знайти проекції катетів на гіпотенузу, якщо відомо, що один катет рівний 4 м.

Розв'язання: Виконаємо допоміжну побудову трикутника

Через відому площу обчислимо другий катет трикутника

За теоремою Піфагора знаходимо гіпотенузу

Через пропорційні відрізки знаходимо проекції

В такий самий б знаходимо проекцію другого катета

Легко переконатися, що сума проекцій рівна гіпотенузі трикутника

Відповідь: проекції катетів рівні 9/5 см та 16/5 см.

 

Задача 3. Один катет прямокутного трикутника рівний 8 см, а проекція другого катета на гіпотенузу – 3,6 см. Знайдіть другий катет та гіпотенузу трикутника.

Розв'язання: Зобразимо трикутник із вхідними даними.

Позначимо AD=x. Згідно другої властивості маємо

Розкриваємо дужки

Квадратне рівняння обчислюємо через дискримінант

Корені рівняння рівні

Корінь x=-10 не відповідає фізичній суті задачі.
Знаючи другу проекцію AD=6,4 см гіпотенузу знаходимо через суму проекцій
AB=3,6+6,4=10 (см.)
За теоремою Піфагора обчислюємо другий катет

Відповідь: катетів рівний 6 см, гіпотенуза – 10 см.

Подібних задач на висоту, гіпотенузу, бісектрису трикутника в ін