Найдите угол между векторами a и b, если |a| = |b|=1 , а векторы а + 2b и 5a - 4b перпендикулярные.

1) АВ = АС, AD = AE, ∠DAE – общий для ΔBAE и ΔCAD  => ΔBAE  = ΔCAD (по 1-ому признаку равенства Δ-ов)

=> ∠ABE = ∠ACD, ∠AEB = ∠ADC

2) ∠CEB = 180° - ∠AEB, ∠BDC = 180° – ∠ADC => ∠CEB = ∠BDC  

3) АВ = АС, AD = AE, CE = AC - AE, BD = AB - AD => CE = BD  

4) CE = BD, ∠CEM = ∠BDM, ∠ECM = ∠DBM => ΔCEM = ΔBDM (по 2-ому признаку равенства Δ-ов)

=> DM = EM, BM = CM  

5) DM = EM, AE = AD, ∠ADM = ∠AEM => ΔAEM = ΔADM (по 1-ому признакуравенства Δ-ов)

=> ∠AMD = ∠AME

 6) ∠AMD = ∠CMO, ∠AME = ∠BMO (т.к. вертикальные углы) => ∠CMO = ∠BMO  

7) BM = CM, ∠CMO = ∠BMO, MO – общая для ΔCMO и ΔBMO => ΔCMO = ΔBMO (по 1-ому признаку равенства Δ-ов)

=> BO = CO => AO – медиана ΔABC => AO – высота ΔABC (т.к. ΔABC – равнобедренный) => AO ⊥ BC

Объяснение:

Полное решение прикрепляю.

Идея решения:

1) Сначала, используя основное свойство параллелограмма, находим АС. Напомню это свойство: AC^2 + BD^2 = 2*(AB^2 + AD^2).

2) Рассматриваем треугольник AKB. Из теоремы косинусов:

AB^2 = AK^2 + BK^2 - 2*AK*BK*cosAKB -

выражаем cosAKB.

3) Используем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1, - чтобы найти sinAKB. Так как угол AKB меньше 180 градусов, то его синус положительный.

4) Находим площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними по формуле: S = 0,5*BD*AC*sinAKB. Вообще, строго говоря, нужно брать острый угол как угол между диагоналями, то есть угол CKB, но так как их синусы равны, то это не имеет значения.

5) Вспоминаем, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих (равных по площади) части, то есть площадь одной такой части будет равна одной четвертой площади параллелограмма. Отсюда площадь треугольника ABK S = Sпар/4.