Известно, что прямые a и b параллельны, прямая а перпендикулярна плоскости α, прямая с лежит в плоскости α. Каково взаимное расположение прямых b и с? Сделайте чертеж и обоснуйте ответ

Пусть угол ACD равен x. По условию сказано, что угол ABC равен углу ACD, значит угол ABC равен x. Так как CD биссектриса, значит угол DCB равен углу ACD и равен x. По теореме об углах треугольника, угол BDC в треугольнике CDB равен 180 - x - x = 180 - 2x. По теореме о смежных углах, угол ADC равен 180 - (180 - 2x) = 180 - 180 + 2x = 2x. Так как треугольник ABC равнобедренный, угол BAC равен углу ACB (угол ACB = угол ACD + угол DCB = 2x). Получается, что угол BAC равен 2x. Так как угол BAC равен 2x, и угол ADC равен 2x, понятно что треугольник ADC равнобедренный (углы при основе равны). Следовательно AC = CD = 10 см. ответ: биссектриса CD равна 10 см.

А мы пойдём другим

А) Рассмотрим рисунок 2 :

Пусть угол ВСО = а

Обозначим точку K, как точку пересечения прямой СО с окружностью, описанной около ∆ АВС, точка О – центр вписанной окружности ∆ АВС, тогда →

KB = KO = KA = 5 см - радиусы описанной окружности около треугольника АВО – по теореме о трилистнике или лемме о трезубце, или лемме Мансиона.

Рассмотрим ∆ ВКС:
По теореме синусов:

2R = BK / sin ВСО
2·5√2 = 5/ sina

sina = √2/4

cosC = cos2a = 1 – 2sin²a = 1 – 2·( √2/4 )² = 3/4 →

угол С = arccos( 3/4 )

Или можно поступить следующим образом:

Б) Рассмотрим рисунок 1 :

точка Е - центр окружности, описанной около треугольника АВС
KE = AE = 5•( корень из 2 )

Рассмотрим тр. АКЕ:
По теореме косинусов:
АК^2 = АЕ^2 + КЕ^2 - 2• АЕ•КЕ•cos AEK
25 = 50 + 50 - 2•50•cos AEK

cos AEK = 3/4

угол АЕК = arccos( 3/4 )

Угол АСВ является вписанным углом окружности с центром в точке Е
▪Вписанный угол равен половине дуги, на которую этот угол опирается ▪
Угол АСВ = ( 1/2 ) • U AKB

U BK = U KA - равные хорды ВА и КА стягивают равные дуги

Угол АСВ = ( 1/2 ) • U AKB = U KA = U BK

Угол АКЕ является центральным углом окружности с центром в точке Е
▪ Центральный угол равен дуге, на которую этот угол опирается ▪
Угол АКЕ = U KA

Значит, угол АСВ = угол АКЕ = arccos( 3/4 )

Также если сделать замену:
r - радиус описанной окружности около треугольника АОВ
R - радиус описанной окружности около треугольника АВС , тогда

угол АСВ = arccos( ( 2R^2 - r^2 )/ 2R^2 )

ОТВЕТ: угол С = arccos( 3/4 )