Высоты, проведённые к боковым сторонам AB и BC равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке M. Прямая BM пересекает основание AC в точке N. Определи AN, если AC=22см.

Думаю, здесь вполне можно обойтись без вложения с рисунком, он достаточно простой, и сделать его не составит труда. 

 

Итак, рисуем треугольник АВС.

АВ=6,

ВС=7,

АС=9

Из вершины В опустим на основание АС высоту ВН. 

ВН делит АС на два отрезка.

Пусть АН=х, НС=9-х

Составим уравнение высоты ВН этого треугольника по т. Пифагора:

ВН²=АВ²-АН²

ВН²=ВС²-НС²

Приравняем эти значения высоты ( они равны, т.к. высота - одна и та же)

АВ²-АН²=ВС²-НС²

36-х²=49-(9-х)²

36-х²=49-81+18х -х²

18х=68

х=3 ⁷/₉

АН=3 ⁷/₉

НС=9-3 ⁷/₉=5²/₉ 

Высоту найдем из треугольника АВН по т.Пифагора:

ВН²= 36-(3 ⁷/₉)²=2916--1156/81=16*110/81
ВН=4/9√110

Вот такой не совсем круглый ответ получился.

 

 

По теореме о двух пересекающихся хордах произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой, пересекающейся с ней. 
Пусть коэффициент отношения СЕ:DE=x 
Тогда АЕ*ВЕ=3х*4х
12х² =108
х=3см
CD=3x+4x=7х=7*3=21 см
Наименьшим значением радиуса данной окружности будет половина большей из данных хорд при условии, что она - диаметр ( меньшая  хорда по понятной причине  не может быть диаметром). Следовательно, при диаметре АВ  радиус 
r=(36+3):2=39:2=19,5
Если диаметр больше хорды АВ, то  радиус не будет иметь наименьшее из возможных значений.