1. В треугольнике ABC: AC > BC > AB. Расположите углы треугольника в порядке возрастания их величин.

Эта задача имеет и другое решение, без применения теоремы синусов.

Из точки К опустим к АС перпендикуляр КЕ. Получим прямоугольный треугольник АКЕ.

По свойству катета, противолежащего углу 30°,

он равен половине медианы АК и КЕ равен (13√2):8
Так как угол С=45°, то Δ КЕС равнобедренный прямоугольный и

ЕС=КЕ=(13√2):8
Найдя КС и умножив на 2, найдем ВС
КС можно вычислить по теореме Пифагора, а можно по формуле диагонали квадрата,т.к. треугольник КЕС - половина квадрата с диагональю КС.
d=а√2
КС=КЕ√2=√2(13√2):8=26:8
ВС=2(26:8)=52:8=6,5

В треугольнике АВС ОВ - биссектриса угла В, так как точка О равноудалена от сторон АВ и ВС. Или в  треугольнике АВС ОК = ОР, так как ОВ - биссектриса. Нам дано и то и другое.

Треугольник АВС делится этой биссектрисой на два треугольника. Причем Sabc = Sabo + Scbo.

По Герону Sabc = √(p*(p-a)(p-b)(p-c)), где р - полупериметр треугольника АВС, равный (32+48+40):2 = 60.

Sabc = √(60*20*28*12) = 240√7.

Sabo = (1/2)*h*AB =16*h.

Scbo = (1/2)*h*BC = 24*h.

240√7 = 16h +24h =40h  =>  h = 6√7.

h = OK = OP.

ответ: ОК=ОР = 6√7 ед.

Или так:

Площади треугольников с одинаковой высотой относятся как стороны, к которым проведена эта высота. то есть Sabo/Scbo = 32/48 = 2/3. Sabc = 240√7 (найдено выше) => Sabo = 96√7  => h =2S/AB = 192√7/32 = 6√7.