Трикутник KLM площею 22, 5 є ортогональною проекцією трикутника АВС зі сторонами 6см, 10см і 14см. Знайдіть кут (у градусах) між площинами АВС і KLM.

Пусть ad = a1d1 — равные биссектрисы, ∠a = ∠a1, ac = a1c1 — равные стороны. в δаdс = δa1d1c1: ∠dac = ∠d1a1c1 (т.к. ∠dac половина угла ∠bac ∠dac = ∠bac : 2 = ∠b1a1c1 : 2 = ∠d1a1c1). ad = a1d1, ас = а1с1. (по условию: ad = a1d1 — равные биссектрисы, aс = a1c1 — равные прилежащие стороны). таким образом, δadc = δа1d1c1 по 1-му признаку равенства треугольников, откуда ∠с = ∠с1 как лежащие против равных сторон в равных треугольниках) в δabcи δа1в1с1: ас = а1с1, ∠а = ∠а1 (по условию) ∠с = ∠с1. таким образом, δabc = δа1в1с1 по 1-му признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

ответ: S=96

Объяснение: обозначим вершины параллелограмма А В С Д, а его высоты ВН1 и ВН2. Пусть одна его стороны АВ=СД=а, вторые ВС=АД=b. Зная, что площадь параллелограмма - это произведение его стороны и высоты, которая проведена к стороне, составим уравнение согласно формуле площади:

S=b×BH1. Так как площадь будет одинаковой независимо от того какой вариант мы выберем, то:

b×BH1=a×ВН2

4b=12√3a

b=12√3a/4

b=3√3a

Высота ВН1 образует прямой угол 90° также со стороной ВС, поэтому

угол СВН=90-60=30°. Рассмотрим полученный ∆СВН2. Он прямоугольный где ВН2 и СН2 -катеты, а ВС- гипотенуза. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, то угол С=90-30=60° . В параллелограмме противоположные углы между собой равны, поэтому

угол А=углу С=60°. Рассмотрим полученный ∆ АВН1. Он прямоугольный, где АН1 и ВН1 катеты, а АВ - гипотенуза. Угол АВН=90-60=30°. Катет лежащий напротив него равен половине гипотенузы, поэтому АН=а/2. Составим уравнение используя теорему Пифагора:

АВ²-АН1²=ВН1²

а²-а²/2²=4²

а²-а²/4=16. Здесь ищем общий знаменатель и получаем:

(4а²-а²)/4=16

3а²/4=16

3а²=4×16

3а²=64

а²=64/3

а=√64/3

а=8/√3

Если сторона а=8/√3, тогда

сторона b=8/√3×3√3=24

Теперь найдём площадь параллелограмма, зная его стороны:

S1=8/√3×12√3=96

S2=24×4=96