Пусть прямоугольник PQRS вписан в прямоугольник ABCD, точки расположены, как показано на рисунке. Выберите все верные утверждения. Если ABCD является квадратом, то и PQRS является квадратом Если PQRS является квадратом, то и ABCD является квадратом Если ABCD является квадратом, то AP=BQ Если PQRS является квадратом, то AP=BQ Если ABCD является квадратом, то AP=CR Если PQRS является квадратом, то AP=CR

В прямоугольном ΔМРО с гипотенузой МО = 15 и катетом МР = 9,
по т. Пифагора
МО² = МР² + РО²
РО² = МО² - МР² = 15² - 9² =  225 - 81 = 144
РО = 12
Высота МР _|_ КО и разбивает отрезок КО на части РО = 12 и КР = 21-12=9

В прямоугольном ΔМРК катеты МР = КР = 9 ⇒  ΔМРК - равнобедренный, в равнобедренном треугольнике углы при основании РАВНЫ.
<PKM = <KMP = (180 - 90) : 2 = 45 - острый угол параллелограмма
 <KMN = 180 - <PKM = 180 - 45 = 135 - тупой угол параллелограмма
ответ: 45, 135, 45, 135.
РО = 

Сделаем рисунок. 
 Вокруг любого треугольника можно описать окружность. 
Рассмотрим треугольник  ВНД. 
Он прямоугольный по условию, следовательно, вокруг него  можно описать окружность с центром в точке О радиусом,  равным ВО=ОД - половине его гипотенузы - по свойству  прямоугольного треугольника.   
Т.к. диагонали любого прямоугольника равны и точкой  пересечения делятся пополам, а О - центр окружности, то АС -  также диаметр этой окружности. 
Угол АНС опирается на АС - диаметр окружности.  
Следовательно, он равен 90 градусам.