Побудувати коло радіусом 3 см, з центром О, відмітити на ньому точку К.

на рисунке

Объяснение:

OK - радиус, = 3см

ОP - диаметр, = 6см

   Медиана треугольника делит его на два равновеликих.

ВМ- медиана ∆ АВС.

   Ѕ(АВМ)=Ѕ(СВМ)

АК- медиана ∆ АВМ.

   Ѕ(АВК)=Ѕ(АМК)=Ѕ(АВК):2

Рассмотрим ∆ МВС с пересекающей его АР.

По т.Менелая 

⇒

СР:РВ=2:1

В ∆ МВС и ∆ ВКР угол  В - общий.

  Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.

Пусть ВР=х, ВК=у, тогда ВС=3х, ВМ=2у

Ѕ(МСВ):Ѕ(ВКР)=(2у•3х):ух=6:1

Примем Ѕ(ВКР)=а

Тогда Ѕ(ВМС)=6а, а Ѕ(КРСМ)=6а-а=5а

Т.к. Ѕ(АВМ)=Ѕ(ВСМ), то Ѕ(АВС)=2Ѕ(ВСМ=12а ⇒

Ѕ(АВС):Ѕ(КРСМ)=12а:5а=

———————

   Из найденного можно найти отношение площадей любых частей ∆ АВС. Например,  отношение S(ABK) ( или равновеликого ему ∆ АКМ) к площади четырехугольника  KPCM равно 3а:5а=0,6 

или 

Ѕ(КРСМ):Ѕ(АВК)=5:3

1. Найдем отношение ВР к СР;

Через вершину В проводим прямую параллельную  АС.

АР продлеваем за точку Р до пересечения с прямой в точке Е. 

=> ВЕ параллельно AC; 

Треугольники ЕВК и АКМ подобны, следовательно:

ЕВ относится к АМ как ВК относится к КМ;

 

2)  ВК/КМ=1, и ЕВ=АМ; ( треугольники равны). 

Отсюда следует:  ЕВ = АС/2; 

Треугольники ЕВР и АСР подобны

=> ВР/СР = ЕВ/АС = 1/2;

итак СР = ВС*2/3; и, соответственно, площадь треугольника АСР

S ACP= S*2/3; (S - площадь треугольника АВС).

т.к S треугольника ВАМ=1/2 S АВС,

а S АКМ=1/2 S АВМ, то 

S AKM = S/4;

Таким образом, площадь четырехугольника КРСМ равна

S KPCM = S ACP - S AKM = S*(2/3 - 1/4) = S*5/12;

ответ 12/5;