У колі з центром O проведено дві рівні хорди AB і CD. 1) Доведіть, що ∠AOB = ∠COD. 2) Доведіть, що AC = BD

 

Если вспомнить, что величина, умноженная на корень из двух, это в то же время формула диагонали квадрата d=а√2 и гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника, то нетрудно будет узнать величину искомого угла.

Соедимим концы В и С хорды с центром окружности.

Радиусы окружности и хорда образуют прямоугольный равнобедренный треугольник СОВ

( см. рисунок вложения).

Выбрав на дуге ВС произвольно точку А, соединим ее с В и С.

∠ ВАС вписанный и равен половине центрального угла ВаС.

∠ВаС=360°-90°=270°, следовательно,
∠ВАС=270°:2=135°
Отметим, что величина этого угла не зависит от местоположения точки А по отношению к В и С.
∠ВАС=∠ВА₁С, как и любому углу, вершина которого будет лежать на этой же дуге, а концы угла опираться на дугу ВаС.

Чертёж смотрите во вложении.

Дано:

ABCD - четырёхугольник.

AD = BC.

AD║BC.

Точка М - середина CD.

Точка N ∈ ВС.

BN = 7.

CN = 3.

∠AMN = 90°.

Найти:

AN = ?

Так как AD = BC и AD║BC, то четырёхугольник ABCD - параллелограмм (по признаку параллелограмма).

Если на одной из двух прямых последовательно отметь несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки (теорема Фалеса). Проведём через точку М прямую МЕ, которая параллельна AD и пересекает сторону AN в точке F. Так как МЕ║AD и AD║ВС, то также МЕ║AD║ВС. Следовательно, по теореме Фалеса, AF = NF, AE = ЕВ.

Рассмотрим четырёхугольник ЕВСМ. Так как ЕМ║ВС (по выше доказанному) и отрезки ЕВ║МС (так как лежат на параллельных прямых), то четырёхугольник ЕВСМ - параллелограмм по определению. Тогда, по свойству параллелограмма, ВС = ЕМ = BN+NC = 7+3 = 10.

Рассмотрим ΔABN. Так как отрезок EF соединяет середины сторон АВ и AN, то EF - средняя линия, причём параллельна стороне BN, а значит, равна её половине (по свойству средней линии треугольника). EF = BN/2 = 7/2 = 3,5.

ЕМ = EF+FM ⇒ FM = ЕМ-EF ⇒ FM = 10-3,5 = 6,5.

Рассмотрим ΔANM - прямоугольный (по условию). FM - медиана, проведённая к гипотенузе, а значит, равна её половине (по свойству прямоугольного треугольника). AN = 2*FM ⇒ AN = 2*6,5 ⇒ AN = 13.

ответ: 13.