ПОСЛЕДНИЕ БАЛЫ! :'( Уже сотый раз пишу во Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює 10см.Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 2см і 3см.Знайдіть площу трапеції.

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 10 см. Точка пересечения диагоналей отдалена от оснований на 2 см и 3 см. Найдите площадь этой трапеции.

Чертёж смотрите во вложении.

Дано:

Четырёхугольник ABCD - равнобедренная трапеция (AD = BC, DC и АВ - основания).

DC < АВ.

АС и DB - диагонали.

Точка О - точка пересечения АС и DB.

ОЕ - расстояние от точки О до DC.

ОН - расстояние от точки АВ.

ОЕ = 2 см.

ОН = 3 см.

DC = 10 см.

Найти:

S(ABCD) = ?

Рассмотрим ΔDOC и ΔBOA. По свойству трапеции ΔDOC ~ ΔBOA (это не сложно доказать, если рассмотреть пару равных накрест лежащих углов при параллельных прямых).

ОН - высота ΔBOA, ОЕ - высота ΔDOC. У подобных треугольников отношение линейных элементов (медиан, биссектрис, высот и так далее) равно коэффициенту подобия.

∠DOC = ∠AOB (так как они вертикальные). В подобных треугольниках против равных углов лежат сходственные стороны. А отношение сходственных сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

То есть -

Подставим известные нам значения в формулу -

AB = 15 см.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты оснований.

Отрезок ЕН - высота, так как перпендикулярна основаниям. ЕН = ОЕ+ОН = 2 см+3 см = 5 см.

Полусумма оснований = 0,5*(DC+АВ) = 0,5*(10 см+15 см) = 0,5*25 см = 12,5 см.

S(ABCD) = 12,5 см*5 см = 62,5 см².

ответ: 62,5 см².

Дано : ΔABC,  ∠C = 90°,  CN = 1 см, NB = 2 см,

          вписанная окружность  (O; r)

Найти : S, r, R

Так как окружность вписана в треугольник, то стороны треугольника являются касательными к окружности. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной в этой точке.

ON⊥CB,  OK⊥AC, OM⊥AB

⇒  CKON - квадрат со стороной, равной радиусу вписанной окружности

⇒  r = CK = KO = JN = CN = 1 см

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны

BM = BN = 2 см;      AK = AM = x см

ΔABC :

BC = CN + BN = 1 см + 2 см = 3 см

AC = AK + KC = (x + 1) см

AB = AM + MB = (x + 2) см

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить через полупроизведение катетов или через произведение полупериметра на радиус вписанной окружности.

AC = x + 1 = 4 см;    AB = x + 2 = 5 см

 см²

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы

 см

ответ :  S = 6 см²,  r = 1 см,  R = 2,5 см

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.
1) Обозначим расстояние от В до плоскости - ВС,
от М до плоскости - МН.  
АС= проекция АВ на плоскость, ⇒ А, Н и С лежат на одной прямой. 
Отрезки, перпендикулярные  плоскости , параллельны.
Угол М=углу В как углы при пересечении параллельных МН и ВС секущей АВ, углы Н и С прямые, 
угол А общий для  ∆ АМН и ∆ АВС ⇒ они подобны.
Из подобия следует АВ:АМ=ВС:МН=(2+3):2⇒
ВС:МН=5:2
МН=2•(12,5:5)=5 м 
    Если АВ - перпендикуляр к плоскости, то расстояние от нее до В=12,5, а до М равно 2/5 от АВ и равно 5 м. 
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2)Пусть наклонные будут:
 ВС=а,  ВА=а+6
ВН- расстояние от общего конца В до плоскости. 
Т.к. это расстояние общее, ВН⊥ плоскости, то 
из прямоугольного ∆ АВН
ВН²=АВ²-АН²
из прямоугольного ∆ ВСН
ВН²=ВС²-НС²⇒
АВ²-АН²=ВС²-НС²
(а+6)²-17²=а²-7²
⇒ решив уравнение, получим
12а=204
а=17 см
ВС=17 см
АВ=17+6=23 см
–––––––––––––––––––––
3) Пусть эти опоры КМ=4 м, ТЕ=8 м, МЕ=3 м. 
Т.к. обе вертикальные, то они параллельны. 
Т - выше К на 4м,  расстояние между К и точкой Р на ТЕ=3м,
 ∆ КТР  с отношением катетов 3:4 - египетский ⇒ гипотенуза КТ=5 м ( проверка по т.Пифагора даст тот же результат). 
ответ - 5 м.