В равнобедренном треугольнике KBP проведена биссектриса PM угла P у основания KP, ∡ PMB = 126°. Определи величины углов данного треугольника (если это необходимо, промежуточные вычисления и ответ округли до тысячных

Сложная задача, но решаемая; решение на фото.

Выполним рисунок.
Замечание 1. Считаем высоту от пола до вершины конуса прожектора.
Замечание 2. Считаем, что прожектор по сути лампа с абажуром, т.е. Фокусирующей системы нет. Иначе все будет намного веселее.
Тогда получится, что световой поток сформируется в виде конуса, подобного конусу абажура. Вот его осевое сечение мы и нарисуем.
Получим правильный треугольник АВС, при этом нам известна его высота BK=5м. Радиус, который требуется найти, это на нашем чертеже половина основания AC (AK=AC/2) (BK это по совместительству еще медиана и биссектриса)
Углы треугольника ABC равны между собой и равны 60°. В частности угол α. Из прямоугольного треугольника ABK находим его гипотенузу AB, зная катет BK и противолежащий угол α.

Поскольку ABC правильный (то бишь равносторонний), то AB=AC
Значит
м

Можно было несколько иначе
Из треугольника ABK

Значит катет AK

Равнобедренная трапеция АВСД: боковые стороны АВ=СД=х,
Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции r=h/2
По условию ВС=h/2, значит ВС=r
Высота трапеции ВH=h=2r делит основание на отрезки АН=у и НД=ВС+у=r+у
АД=АН+НД=у+r+у=r+2у
Т.к. в трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин её противоположных сторон равны, то АВ+СД=ВС+АД
АВ=(ВС+АД)/2=(r+r+2у)/2=r+у
По т.Пифагора из прямоугольного ΔАВН:
АВ²=АН²+ВН²=у²+4r²
(r+у)²=у²+4r²
r²+2rу+у²=у²+4r²
2rу=3r²
у=3r/2
АД=r+2*3r/2=4r
Площадь трапеции S=(АД+ВС)*ВН/2=(4r+r)*2r/2=5r²
ответ: 5r²