1)В трикутнику АВС сторона ВС утворює з основою АС кут, що дорівнює 30° , а висота проведена з вершини В, ділить основу на відрізки АК= 12 см, КС=5 корінь 3. Значти бічні сторони трикутника

Группа А, вариант 1.

Даны вершины треугольника.

Точка А                 Точка В              Точка С  

х    у                           х      у                      х         у

1     2                         9      8                      5         0

Находим длины сторон.

 АВ                    ВС                        АС  

Δx   Δy             Δx  Δy                Δx    Δy

8     6              -4    -8                   4       -2

64   36            16      64               16       4           квадраты

100                      80                       20            сумма квадратов

АВ (c) = 10        ВС(a)  = √80 = 4√5            АС (b) = √20 = 2√5 .

Углы по теореме косинусов:  

cos A = 0,4472      A = 1,107 радиан или 63,435 градуса

cos B = 0,8944        B = 0,4637 радиан или  26,565 градуса

cos C = 0               C = 1,5708 радиан  или  90  градусов.

Как видом, треугольник прямоугольный.

Векторы и модули сторон определились выше:

 АВ (8; 6),                   ВС(-4; -8)                        АС(4; -2).  

     10                               4√5                              2√5                                    

Косинусы углов можно определить по векторам.

Например, cos А = (AB*AC)/(|AB|*|AC|) =

                              (8*4 + 6*(-2)/(10* 2√5 ) = 20/(20√5 ) = 1/√5 ≈ 0,44721.

Что соответствует ранее найденному.

Уравнения сторон.

АВ: (х - 1)/8 = (у -2)/6 это канонический вид,

6х - 8у + 10 = 0  или 3х - 4у + 5 = 0 это общий вид,

у = (3/4)х + (5/4)     вариант с угловым коэффициентом.

ВС: (х - 9)/(-4) = (у -8)/(-8),

АС: (х - 1)/4 = (у -2)/9-2).

Другие варианты можно определить самостоятельно.

Площадь треугольника можно определить или по формуле Герона, или по координатам:

S = (1/2)|(x2 - x1)*(y3 - y1) - (x3 - x1)*(y2 - y1)|.

Подставив значения, получаем S = 20.

Находим координаты точки К - середины стороны АВ:

К = ((1+9)/2=5; (2+8)/2=5) = (5; 5).

Теперь находим вектор СК:

СК = ((5-5)=0; (5-0=5) = (0; 5).

Уравнение медианы СК:

(х - 5)/0 = (у - 0)/5   или  х = 5. Это вертикальная линия.

• ABCD – это основание четырехугольника;
• M – вершина;
• MО – высота пирамиды (где О –
это точка пересечения диагоналей);
• МN – высота боковой грани.

Sосн = а² = 36 (где а – это сторона основания)

а = √36 = 6 (см)
Sполн = Sосн + Sбок = 96 (см)
Sбок = Sпол + Sосн
Sбок = 96 - 36=60 (см²)
Sбок = 1 : 2 * Р * L (где Р – это периметр основания, а L – высота боковой грани)
Росн = 4 * 6 = 24
S = 1: 2* 24 * L = 60
12 * L = 60
L= 60 : 12
L = 5

Используя прямоугольный треугольник МОN (где угол О = 90°) по теореме Пифагора найдём, что:

КО = Н
ОМ = 1 :2
а = 3 (см)
КМ = L = 5
КО² = КМ² - ОМ²
КО² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16
КО = √16 = 4
Н = 4 (см)

ответ: 4 см.