Дан треугольник ABC, известно, что ∡B=164°. В треугольнике проведены высоты AM и CN. Определи угол между ними. Угол между высотами AM и CN равен

Сделаем рисунок. 

Пусть площадь АВСD=S. 

Тогда площадь прямоугольника KFDC=S/2, 

площадь ∆ СFD=S/4 ( диагональ CF делит прямоугольник пополам).

В ∆ АОD и ∆ СОD стороны АD=СD, ОD - общая, углы между равными сторонами равны (BD - биссектриса квадрата).

∆ АОD=∆ СОD.

∆ АОF и ∆ DOF равновелики - у них общая высота из О  и равные основания АF=DF. 

Таким же образом равновелики ∆ DОМ и ∆ СОМ. Тогда  площадь ∆ DОF одной трети площади ∆ СFD. Площадь ∆ DOF=(S/4):3=S/12

Т.к. площади ∆ АОF и ∆ DOF равны, площадь ∆ АОF=S/12

Сумма  площадей ∆ АОВ и ∆FOD равна   

площади ∆ ABD без площади ∆ АОF и равна S/2-S/12=5/12

 По условию эта сумма S•5/12=65 см²

1/12=65:5=13 см²

Площадь ∆ АОВ=65-13=52 см²

Из треугольника AMN  можно вычислить, что угол А= 30 (180-60-90=30), тогда катет, который лежит напротив угла 30 град. = половине гипотенузы, то есть MN=1/2 AN, AN=2MN=2*6=12. Так как N середина AB, то AB = 24. Из треугольника AMN tg 60=AM/MN. AM=tg60*MN=6sqrt3 (sqrt-корень) Так как М - середина АС, то АС = 12sqrt3. Рассмотрим треугольник АВС. Угол А=30, значит противоположный катет СВ=половине гипотенузы. CB=1/2AB=12. Рассмотрим треугольник BCM. CM=6sqrt3, CB=12, C=90 градусов. По теореме Пифагора МВ=6sqrt7. Площадь прямоугольного треугольника = 1/2 произведение катетов. S(треугольника AMN)=1/2*6sqrt3*6=18sqrt3