Найдите высоту проведенную к гипотенузе прямоугольного треугольника если его катеты равны 12 и 16

 высота, проведенная к гипотенузе есть среднее геометрическое (пропорциональное) между проекциями катетов на гипотенузу. То есть:

высота в квадрате = произведению отрезков, на которые делит эта высота гипотенузу.
гипотенуза в квадрате = 144 + 256 = 400.  гипотенуза = 20 (корень из 400)
Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Cледовательно, 12^2 = гипотенуза *1 отрезок (меньший)
144 = 20 * 1 отрезок
1 отрезок = 144 :20 = 7,2
Следовательно, 2 отрезок = 20 - 7,2 = 12,8

С = 4*h
x+y = с
h² = xy
высота к гипотенузе=среднее геометрическое отрезков, на которые она разбивает гипотенузу)))
тангенсы острых углов будут равны: h/x   и   h/y
h²/x = y
h/x = y/h
если второе равенство разделить на (h), получим:
(x/h) + (y/h) = c/h = 4
замена: x/h = t
t + (1/t) = 4
t² - 4t + 1 = 0
D = 16-4 = 12
t1 = (4-2√3)/2 = 2-√3
t2 = 2+√3
тангенс одного острого угла = 2+-√3
тангенс другого острого угла = 1/(2+-√3) = 2-+√3
ответ: тангенс одного острого угла = 2+√3
           тангенс другого острого угла = 2-√3
это углы в 75° и 15°

Известно: высота к гипотенузе является средним геометрическим отрезков, на которые она (высота) разбивает гипотенузу)))
h² = x*y
высота h
гипотенуза 4h
один отрезок x
второй отрезок (4h-x)
h² = x*(4h-x)
h² = 4h*x - x²
x² - 4h*x + h² = 0
D=16h²-4h² = 12h²
x₁;₂ = (4h+-2√3*h)/2 = h*(2 +- √3)
отрезки гипотенузы получились: один = h*(2+√3), другой = h*(2-√3)
отрезки гипотенузы будут ПРИлежащими катетами к острым углам прямоугольного треугольника,
а высота --ПРОтиволежащим к ним катетом
tg(α) = h / (h*(2+√3)) = 1/(2+√3) = 2-√3
tg(β) = h / (h*(2-√3)) = 1/(2-√3) = 2+√3
α = 15°
β = 75°

можно проще)))
любой прямоугольный треугольник можно достроить до прямоугольника, у прямоугольника диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам...
получим равнобедренные треугольники с боковыми сторонами по 2h
и в одном из них высота =h, т.е. угол между диагоналями будет =30°, т.к. получим катет, равный половине гипотенузы)))
тогда углы при основании равнобедренного треугольника = (180°-30°)/2 = 75°,
а это и есть острый угол данного прямоугольного треугольника...
второй вычислить уже просто))