Задача 1. Докажите, что боковые грани куба перпендикулярны плоскостям его оснований. Задача 2. На грани двугранного угла величиной в 450 дана точка А, удаленная от другой грани на расстоянии 5см. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

Построим сумму векторов а и b и их разность.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129

Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301

Возьмем точки А и В так, чтобы XKNA и XLMB были параллелограммами и продлим XY за точку Y на свою длину до точки С (см. рис). Треугольник ANY равен треугольнику BMY по двум сторонам и углу между ними (AN=XK=XL=BM, NY=MY и ∠ANY=∠BMY как внутренние накрест лежащие, т.к. АN||KL||MB и MN - секущая). Значит AY=BY, т.е. AXBC - параллелограмм. Тогда ∠KVX=∠AXY=∠XCB, ∠LWX=∠BXC, BC=XA=KN и BX=LM, а т.к. по условию LM<KN, то BX<BС. Т.к. в любом треугольнике (в том числе XCB) напротив меньшей стороны лежит меньший угол, то ∠XCB<∠BXC, а значит и ∠KVX<∠LWX.