Один из катетов прямоугольного треугольника равен 4см, а проекция на его гипотенузу 4/3см. скольким сантиметрам равен радиус окружности, описанной около этого треугольника !

центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.  обозначим вершины треугольника a,b,c, а высоту bd.  для высоты можно записать  bd^2=ab^2-ad^2;   поскольку треугольники abd и bcd подобны,  dc/bd = bd/ad, откуда dc=bd^2/ad, или подставив цифры 128/12.  гипотенуза равна  ad+dc = 4/3+128/12 = 12. это диаметр окружности.  радиус будет 6 см.

А)около четырехугольника можно описать окружность, если суммы углов равны 180°. по теореме косинусов из треугольника авс: аc2=ab2+cb2–2·ab·cb·cos∠b 49=9+25–30·cos∠b cos∠b=15/(–30)=–1/2 по теореме косинусов из треугольника аdс: аc2=ad2+cd2–2·ad·cd·cos∠d 49=64+25–80·cos∠d cos∠d=(–40)/(–80)=1/2 таким образом косинусы углов b и d противоположны, значит ∠в+∠d=180° и около четырехугольника можно описать окружность. б)по теореме косинусов из треугольника bad: bd2=ba2+da2–2·ba·da·cos∠a bd2=9+64–48·cos∠a cos∠a=(73–bd2)/48 по теореме косинусов из треугольника всd: bd2=bc2+dc2–2·bc·dc·cos∠c bd2=25+25–50·cos∠c cos∠c=(50–bd2)/50 угла а и с так же в сумме 180 °, значит значения косинусов этих углова противоположны, таким образом: (73–bd2)/48=–(50–bd2)/50 (73–bd2)/48=(bd2–50)/50 (73–bd2)·50=(bd2–50)·48 73·50–50 bd2=48 bd2–48·50 48 bd2+50 bd2=73·50+48·50 98 bd2=121·50 bd2=(121·50)/98 bd2=(121·25)/49 bd=(11·5)/7=55/7

Чтобы найти дли вd, надо найти координаты точки d. эта точка - конец отрезка вd. координаты точки d знаем, будем искать координаты середины этой диагонали. пусть это будет точка о(х; у; z). эта точка - середина диагонали ас.  х = (1-1)/2 = 0                                                                 у = (3+0)/2 = 1,5                                                                 z = (2 +2)/2 = 2   о(0; 1,5; 2  )   пусть в(х'; y'; z')) (x' + 5)/2 = 2,5,  ⇒x' +5 = 5,  ⇒x'= 0 (y' - 4)/2 = 1,5,  ⇒ у' -4 = 3,  ⇒y' = 7 (z' +1)/2 = 2,  ⇒ z' +1 = 4,  ⇒ z' = 3 b(0; 7; 3) |bd| =  √((0-5)² +(7+4)² + (3 -1)²)=√(25 + 121 + 4) =  √150= 5√6