Образец: Задача 1. К окружности с радиусом 6 см проведена касательная KL так, что KOL = 60. Найдите отрезок ОL Дано: Окружность (О; ОК); KL –касательная; KOL = 60;OK = 6. Найти: ОL - ? Решение

Решение смотрите во вложении

Объяснение:

∠DEK  опирается на диаметр DK большой окружности.

∠ОВК опирается на диаметр ОК малой  окружности.

Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые. Следовательно,

∠DEK = ∠ОВК  = 90°. Из этого следует, что

DE ⊥EK и АВ ⊥ЕК.  

Теорема: если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Значит, DE ║ АВ, ч.т.д.

б) Так как DE ║ АВ, то ∠ВОК = ∠ЕDК как соответственные.

Диаметр АВ ⊥ЕК.   Если хорда перпендикулярна диаметру, то диаметр проходит через её середину, т.е.

ЕС = СК  и т. В - середина дуги ЕК  и, следовательно,

DB - биссектриса ∠EDK прямоугольного ΔDEK.

Теорема: Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон, т.е.

ЕL : LK = DE : DK =   cos(∠KDE) =  cos(∠KOB) = √(1 - sin²(∠KOB) =

= √1 -7/16 = √9/16 = 3/4

Відповідь:

Стороны начального прямоугольника:

а = 6 см., в = 8 см.

Стороны нового прямоугольника:

а = 12 см., в = 6 см.

Пояснення:

Пусть стороны начального прямоугольника а и в, тогда первое уравнение:

2а + 2в = 28

а + в = 14

В новом прямоугольнике а увеличилось на 6, а в уменьшилось на 2.

Площадь начального прямоугольника:

а × в

Площадь нового прямоугольника:

(а + 6) × (в - 2)

Получаем второе уравнение:

(а + 6) × (в - 2) = а × в + 24

а × в + 6в - 2а -12 = а × в + 24

6в - 2а = 36

Из первого уравнения:

в = 14 - а

Подставляем в во второе уравнение:

84 - 6а - 2а = 36

8а = 48

а = 6 см.

Подставляем первое уравнение:

в = 14 - 8

в = 8 см.

Стороны начального прямоугольника:

а = 6 см., в = 8 см.

Стороны нового прямоугольника:

а = 6 + 6 = 12 см.

в = 8 - 2 = 6 см.

Проверка:

12 × 6 = 8 × 6 + 24

72 = 48 + 24

72 = 72