Продолжения боковых сторон ab и cd трапеции abcd пересекаются точке k найдите площадь трапеции если ad:bc=4:3, а площадь треугольника akd равна 128см²

Синус, похоже, придумали индусы. Как? Очень просто. Пока речь шла о прямых, числа и длины отрезков значили одно и то же. Видите ли, вопреки общепринятому, не арифметика была в начале, а потом геометрия, а с точностью наоборот. Именно геометрические построения стали основой арифметики, а, затем, и алгебры.

Синус, у индийцев, означал половину хорды, стягивающей дугу, точнее половину хорды. Арабы, взявшие у индийцев основы математики, видели это по-другому. Они не перевели линию синуса на арабский дословно (ватар) а перевели смысл, как арабы поняли. По их мнению, синус - это линия, стягивающая живот, просто представьте себе это. Дуга - живот, хорда - линия.

Ну, далее полный беспредел. Европейцы перевели наследие индусов через арабов, при этом основой был арабский язык, более известный. И они, слово джайб, пазуха, перевели совершенно по медицински - пазуха, живот. Вот так, индусское слово полутитева стало значить пазуха.

А потом пришел Эйлер и сказал, что хватит натуралистики. И ввел современное обозначение синуса. А все же, синус - это тетива, то есть хорда. Точнее - полухорда.

Обозначим точку пересечения  диагоналей  как О.
По свойству параллелограмма
AO=OC= AC / 2 .
 AB =CD (по другому свойству).
А так как  AC   в   2   раза   больше   стороны   AB  (по условию задачи), то OC= AB =CD.
Следовательно треугольник OCD - равнобедренный.
тогда ≤COD=≤CDO.   
≤ -это знак угол, другой символ не нашла:
По теореме о сумме углов треугольника: 180°=≤COD+≤CDO+≤ACD =≤COD+≤CDO+ 104 °
≤COD+≤CDO=76°, а так как ≤COD=≤CDO (это мы выяснили ранее), то ≤COD=≤CDO=76°/ 2 =38°
≤COD  и  есть острый  угол   между   диагоналями .
 ответ : 38