Через вершину c треугольника abc проведена прямая , параллельная его биссектрисе aa1 и пересекающая прямую ab в точке d. докажите , что ac=ad

угол а1ас = углу асd (как внутр. накрест лежащие, при аа1//сd и секущей ас)

угол а1ав = углу аdс (как соответственные, при аа1//сd и секущей аd)

т.к. угол а1ас = углу а1ав (аа1 - биссектриса), то

угол асd = углу аdс =>

треугольник аdс - равнобедренный, т.е. ас=аd                                                

1 находим вд^2 = 15^2-12^2=81 извлекаем корень =9. дс^2= 20^2-12^2= 256 извлекаем корень=16 ответ: вс= 16+9=25.                                                                                                                     2 ад больше . это можно доказать: два треугольника авд и вдс в которых одинаковая высота, гипотенузы - разные   и соответственно в каком треугольнике большая гипотенуза (в треугольнике авд   она равна 11)  в том и катет больше соответственоо катет ад ( это можно проверить по теореме пифагора).                                                                                                 3 проекция а будет больше тк чтобы сравнить проекции нужно из вершины опустить перпендикуляр и мы получаем прямоугольный треугольник с гипотенузами равными 14 и 13 соответственно, а в треугольнике где гипотенуза больщая - там катет( - он же и проекция) больше, что следует из теоремы пифагора.

обозначим трапецию авсd. пусть вс=а, тогда аd=4а.   

1) треугольники, образованные пересекающимися диагоналями и основаниями трапеции, подобны по равным углам: вертикальные при точке пересечения о и накрестлежащие при основаниях, и k=ad: вс=4: 1⇒

ао: со=4: 1

2) так как еf параллельна основаниям трапеции, ∆авс и  ∆аео подобны с коэффициентом подобия ао: ас,=4: (4+)=4/5

аналогично из подобия ∆ оdf и bdc отношение оd: вd=4/5

тогда ео: вс=оf: вс=4/5, откуда ео=оf=8: 2=4

из отношения ео: вс=4/5 находим вс=5 (ед. длины)

аd=4вс=4•5=20 (ед. длины)

полезно запомнить  это свойство трапеции:

отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах,делится точкой пересечения диагоналей пополам.