Висота правильної трикутної піраміди дорівнює h, а двогранний кут при ребрі основи - α‎. Знайти об'єм кулі, вписаної в цю піраміду.

Касательные AN и AM равны и образуют с радиусами ON и OM соответственно прямые углы. Т.е. AN перпендикулярна ON, и AM перпендикулярна OM.
Касательными и радиусами образуется четырехугольник OMAN. Сумма углов = 360 градусов.
∠MAN = 360 - ∠MON - ∠ANO - ∠AMO = 360-120-90-90=60 градусов.
Рассмотрим треугольники ΔANO и ΔAMO - они равны по двум сторонам(AN=AM, MO=NO) и углу между ними (∠ANO=∠AMO=90) эти треугольники прямоугольные.
Диагональ делит OMAN пополам. ∠MAO=∠NAO=30.
Катеты лежащие напротив угла в 30 градусов равны половине гипотенузы: OM=ON=OA:2=12:2=6см
Используем т.Пифагора, чтобы найти AM и AN.

ответ: AM=AN=см

По теореме косинусов
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos (гамма)
15^2 = 12^2 + b^2 - 2*12*b*cos(120) = 12^2 + b^2 - 24b*(-1/2)
225 = 144 + b^2 + 12b
b^2 + 12b - 81 = 0
D/4 = 6^2 + 81 = 36 + 81 = 117 = (3√13)^2
b = -6 + 3√13 = 3√13 - 6 ~ 4,81 
По теореме синусов
a/sin(альфа) = b/sin(бета) = c/sin(гамма)
sin(гамма) = sin(120) = √3/2
c/sin(гамма) = 15 / (√3/2) = 15*2/√3 = 30√3/3 = 10√3
sin(альфа) = a / (c/sin(гамма)) = 12 / (10√3) = 
= 12√3/(10*3) = 2√3/5 ~ 0,6928; 
альфа ~ 43,85 градуса 
sin(бета) = b / (c/sin(гамма)) = (3√13 - 6) / (10√3) = 
= (3√13 - 6)*√3 / (10*3) = (√13 - 2)*√3 / 10 ~ 0,278; 
бета ~ 16,15 градусов