Вариант 1 1. На окружности отмечены точки А, М, Р, В так, что АВ - диаметр окружности, угол АРМ равен 57%, а угол РАМ равен 480. Найти угол РАВ. 2. Вершины треугольника делят окружность в отношении 2:3:4. Найти углы треугольника. 3. Хорды АС и ВМ пересекаются в точке К. Найти длины ВМ и КМ, если АС = 0, 7 см, м, CK = 0, 5 см, BK = 0, 4 см. 4. Хорды АС и ВМ пересекаются в точке К. Найти длины АК и КС, если МК = 4 см, ВК = 6 см, СК на 5 см больше АК.

В равнобедренном треугольнике две равные стороны называются боковыми, а третья - основанием треугольника. Точка пересечения равных сторон — вершина равнобедренного треугольника. Угол между одинаковыми сторонами считается углом при вершине, а два других — углами при основании треугольника.
Являются доказанными такие свойства равнобедренного треугольника:
- равенство углов при основании, 
- совпадение проведенных из вершины биссектрисы, медианы и высоты с осью симметрии треугольника, 
- равенство между собой двух других биссектрис (медиан, высот),
- пересечение биссектрис (медиан, высот), проведенных из углов при основании, в точке, лежащей на оси симметрии.
Наличие одного из этих признаков является доказательством того, что треугольник равнобедренный.

Т к DK:KB=CN:NB=1:4, NK || CD и треугольники КВN и DBC подобны, BN=4CN, BC=BN+CN=5CN, k=BN:BC=4/5 - коэффициент подобия, KN=4/5*30=24. 
Т к DM:MA=CL:LA=1:4, ML  || CD и треугольники MAL и DAC подобны, AM=4DM,  AD=AM+DM=5DM, k=AM:AD=4/5 - коэффициент подобия, ML=4/5*30=24.
Т к NK || CD и ML  || CD, то NK || ML, кроме того NK = ML, значит KMKN - параллелограмм по признаку. Тогда MK=LN.
Т к. DK:KB=DM:MA=1:4, MK || AB и треугольники КDM и ADB подобны, AM=4DM, AD=AM+MD=5DM, k=DM:DA=1/5 - коэффициент подобия, MK=1/5*25=5.
LN=MK=5.
Периметр KMLN: P=2*(24+5)=58.