В треугольник со сторонами 6 см, 7 см и 12 см вписана окружность. К окружности проведена касательная, пересекающая две большие стороны треугольника. Чему равен периметр отсеченного треугольника​

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = АС•√2, BC = 6. Найдите высоту CН.
По т.Пифагора АВ²=АС²+ВС²
АВ²-АС²=ВС²
Примем АС=а. Тогда гипотенуза АВ=а√2. 
2а²-а²=36⇒
а=√36=6 
a√2=6√2
АС=ВС - треугольник равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой. 
В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота из прямого угла=0,5 гипотенузы ( по свойству медианы из прямого угла). 
СН =(6√2):2=3√2

Иногда эту высоту требуется записать в ответе как √2CH. Тогда, так как √2•3•√2=6, в ответе пишется 6.

1) В равнобедренном ΔАВС АС=ВС и СМ - высота, медиана и биссектриса,

ОМ - радиус вписанной окружности, КА=АМ=NB=MB=8x, KC=CN=9x.

Площадь треугольника можно найти по формуле:

S=1/2AB*CM.

2) Рассмотрим ΔCMB - прямоугольный.

По т.Пифагора находим СМ=√(ВС²-ВМ²)=√((17х)²-(8х)²)=√(289х²-64х²)=

=√(225х²)=15х.

Так как центр вписанной окружности - это точка пересечения биссектрис, то можно использовать свойство биссектрисы: b:c=b1:c1.

Используем это свойство для ΔСМВ и биссектрисы ВО:

СB:BM=CO:OM;

17x:8x=CO:16;

17:8=CO:16;

CO=17*16/8=34 (см).

СМ=СО+ОМ=34+16=50 (см).

СМ=15х=50;

x=50/15=10/3.

3) ΔABC: AB=16x=16*10/3=160/3 (см).

СМ=50 см.

Находим площадь ΔАВС:

S=1/2*AB*CM=1/2*160/3*50=4000/3=1333 (см²).

ответ: 1333 см².

Подробнее - на -