Дано точки А(2, 1, 7), В(-1, 1, 3), С(-8, 1, 2 Знайдіть внутрішній кут В трикутника АВС.

AO₁ = 2 , AO₂ = 1 , O₁O₂ = √3Для ΔАО₁О₂ выполняется теорема Пифагора: АО₁² = О₁О₂² + АО₂² ;  2² = (√3)² + 1²  ;  4 = 4  ⇒  ΔАO₁O₂ - прямоугольный, O₁O₂⊥ABΔАО₁В - равнобедренный, АО₁ = BO₁ = 2 ⇒ O₁O₂⊥AB, AO₂ = BO₂ = 1AO₁ = BO₁ = AB = 2  ⇒ ΔAO₁B - равностороннийПлощадь круга с радиусом R₁ = 2:  S₁ = πR₁² = 4πПлoшадь круга с радиусом R₂ = 1:  S = π  S ao₁b = AB²√3/4 = 4√3/4 = √3Площадь ме'ньшего сектора, соединяющего точки А, О₁, В:S сек. = πR₁²•α/360° = π•R₁²•∠AO₁B/360° = 4π•60°/360° = 2π/3S ceк. = S ao₁b + SS = S сек. - S ao₁b = (2π/3) - √3Площадь общей части кругов:  S₃ = (S₂/2) + S = (π/2) + (2π/3) - √3 = (7π/6) - √3Площадь бо'льшей луночки: S₄ = S₁ - S₃ = 4π - (  (7π/6) - √3  ) = 4π - (7π/6) + √3 = (17π/6) + √3Площадь ме'ньшей луночки: S₅ = (S₂/2) - S = (π/2) - (  (2π/3) - √3  ) = (π/2) - (2π/3) + √3 = √3 - (π/6)

В равнобедренном треугольнике равны не только боковые стороны, но и прилежащие к основанию углы. Рассмотрим на треугольнике MFE, где MF=FE. Опустим высоту FH. Треугольник MFH=EFH (они оба прямоугольные, FH-общая, MF=EF по условию.). Значит угол М равен углу Е. Т.е. в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Начертим треугольник ABC. Пусть равными высотами будут высоты AA1 и CC1. Треугольники ACC1 и  CAA1 прямоугольные и имеют равные катеты (AA1 = CC1) и общую гипотенузу (AC), значит они равны по катету и гипотенузе. Т.к. треугольники ACC1 и  CAA1 равны, углы A и C равны., значит АВ=СВ, следовательно треугольник равнобедренный.