ВС и BD – соответственно диаметр и хорда окружности с центром О, хорда BD равна радиусу этой окружности. Найдите угол CBD.

( рисунок во вложении)

Продолжим прямые АВ и СД, пункт пересечения обозначим М. Треугольник МВС подобен треугольнику МАД по трем углам ( угол МВС = углу ВАД, угол МСВ = углу СДА (прямые ВС и АД параллельные так, как АВСД - трапеция, а эти две пары углов соответственные) и угол АМД - общий)

Коэффициент подобия треугольников к = АД/ВС = 24/6=4, значит МД:МС=4:1, а раз по условию СК:КД=1:2, то МС = СК и  пункт К является серединой отрезка МД.

Если АК - биссектриса ( по условию) и медиана( К является серединой отрезка МД), то треугольник АМД - равнобедреный( у равнобедреного треугольника медиана является  биссекрисой)  и АМ = АД = 24 см ( боковые стороны)

АМ:ВМ = 4:1(коэффициент подобия треугольников  к =4), а раз АМ = 24, то ВМ =АМ/4=6см

АВ = АМ - ВМ = 24 - 6 = 18 см

ответ: АВ =  18 см

Угол АОС - центральный и равен 90° (дано), значит дуга АС, на которую он опирается, равна 90°. Угол АВС - вписанный и опирается на дугу АС=90°. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной мере дуги, на которую он опирается, то есть 45°. Но угол АВС равен сумме углов ОВА и ОВС=15°, значит угол ОВА = 45°-15°=30°.

В прямоугольном треугольнике ОВК (точка К - это основание серединного перпендикуляра к прямой АВ, т.е. расстояние от О до АВ =6см это дано) против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы ОВ, являющейся радиусом описанной окружности. Значит ОВ=12см.

Итак, искомый угол ОВА = 30°, а R = 12cм.