Докажите, что треугольник с вершинами A(-4; -1), В(2; -9), С(7; 1) - равнобедренный и найдите длину его биссектрисы, проведенной к основанию​

Доказано, что диагонали равны.

Объяснение:

В выпуклом четырехугольнике прямая, которая проходит через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырехугольника. Докажите, что диагонали равны.

Дано: ABCD - выпуклый четырехугольник;

AC и BD - диагонали;

АМ = МВ; DК = КС;

∠АЕМ = ∠DОК.

Доказать: AC = BD.

Доказательство:

Дополнительное построение:

Отметим Н - середина ВС.

Соединим М и К с Н.

Обозначим углы 1, 2, 3, 4 (см. рис)

1. Рассмотрим ΔАВС.

АМ = МВ (условие);

ВН = НС (построение)

⇒ МН - средняя линия ΔАВС.

Средняя линия равна половине длины стороны, которую она не пересекает, и параллельна ей.

⇒ МН || AC, МН = 0,5AC

2. Рассмотрим ΔВСD.

CK = KD (условие);

ВН = НС (построение)

⇒ НK - средняя линия ΔВСD.

⇒ НK || BD, НK = 0,5BD

3. Рассмотрим ΔМНК.

∠1 = ∠3 (накрест лежащие при МН || AC и секущей МK)

∠2 = ∠4 (накрест лежащие при НК || BD и секущей МK)

∠1 = ∠2 (условие) ⇒ ∠3 = ∠4

Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

⇒ МН = НК.

4. МН = 0,5AC ⇒ АС = 2МН  (п.1)

НK = 0,5BD ⇒ BD = 2HK (п.2)

МН = НК (п.3)

⇒ АС = ВD

Доказано, что диагонали равны.

#SPJ1

На ребрах AB и CB треугольной пирамиды DABC отмечены точки М и N, AM:MB=CN:NB=3:1. P и Q - середины ребер DA и DC. В каком отношении плоскость PQM делит пирамиду?

PQ||AC, MN||AC (по т о пропорциональных отрезках) => PQ||MN

Через две параллельные проходит плоскость PQMN

Рассмотрим пирамиду с основанием AMNC и вершиной P.

△MBN~△ABC, k=MB/AB=1/4

S(MBN)/S(ABC) =k^2 =1/16 => S(AMNC)/S(ABC) =15/16

Высоты из P и D на (ABC) относятся 1:2

V(PAMNC)/V(DABC) =15/16 *1/2 =15/32

Рассмотрим пирамиду с основанием QNC и вершиной P.

S(QNC)/S(DBC) =CQ*CN/CD*CB =CQ/CD *CN/CB =1/2 *3/4 =3/8

Высоты из P и A на (DBC) относятся 1:2

V(PQNC)/V(ADBC) =3/8 *1/2 =3/16

V(PAMNC)+V(PQNC) =(15/32 +3/16) V(DABC) =21/32 V(DABC)

Плоскость PQM делит пирамиду DABC в отношении 11:21.

Большая часть 21/32 от объема DABC.