В основе четырехугольного ромба с диагоналями 6 см и 8 см, а боковые грани наклонены к основанию под углом 45 °. Вычислить объем пирамиды.

а) Постройте плоскость, проходящую через точки K, L и М - для этого надо просто соединить эти точки.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС.
Продлим отрезки КМ и KL до пересечения с плоскостью АВС. Для этого достаточно продлить стороны АС и АВ.
Точки пресечения - это Д и Е.
Примем длину отрезка АК за 1.
Из треугольника АКД отрезок АД = 1 / tg 60 = 1 / √3.
Аналогично АЕ = 1 / tg 45 = = 1 / 1 = 1.
Угол ЕАД равен 60 градусов (по заданию).
По теореме косинусов 

Находим гипотенузы в треугольниках АКД и АКЕ.

КЕ = √(1²+1²) = √2 (острые углы по 45 градусов).
Теперь определены 3 стороны в треугольнике КЕД, угол наклона которого к плоскости АВС надо найти.
Для этого двугранный угол между основой и треугольником КДЕ надо рассечь плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения ЕД.
Находим высоты в треугольниках АЕД и КЕД по формуле:

АЕ         ДЕ                 АД                  p                      2p               S =
1    0.8694729    0.5773503    1.2234116    2.446823135     0.25
 haе              hде                 hад
 0.5          0.57506            0.86603 

       КЕ                ДЕ              КД              p                2p               S =
1.4142136   0.869473   1.154701   1.719194    3.43839    0.501492
       hке                hде                     hкд
0.7092           1.15356              0.86861.
Отношение высот hде и  hде  - это косинус искомого угла:
cos α = 0.57506 / 1.15356 =  0.498510913.
ответ: α = 1.048916149 радиан =  60.09846842°. 

Чтобы найти координаты вершины "b" в параллелограмме, нам необходимо использовать свойства параллелограммов.

Свойство 1: В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны.
Свойство 2: В параллелограмме диагонали делятся пополам.

У нас есть три известные вершины параллелограмма: "a" (3, -2), "c" (9, 8) и "d" (-4, -5). Чтобы найти координаты вершины "b", мы можем использовать эти два свойства.

Шаг 1: Найдем координаты вершины "b" с помощью противоположной стороны "a" и "c".

Сначала посчитаем разность координат x и y для точек "a" и "c":
Разность x: 9 - 3 = 6
Разность y: 8 - (-2) = 10

Затем применим эти разности к координатам точки "d":
x-координата вершины "b": -4 + 6 = 2
y-координата вершины "b": -5 + 10 = 5

Итак, координаты вершины "b" в параллелограмме abcd равны (2, 5).

Давайте также проверим, что диагонали параллелограмма делятся пополам.

Для этого найдем середину диагонали "ad" и проверим, равна ли она координатам вершины "b".

Среднее значение двух x-координат: (3 + (-4)) / 2 = -1/2
Среднее значение двух y-координат: (-2 + (-5)) / 2 = -7/2

И как мы видим, координаты середины диагонали "ad" равны (-1/2, -7/2), что действительно равно координатам вершины "b" (2, 5).

Таким образом, мы решили задачу и нашли координаты вершины "b" в параллелограмме abcd. Они равны (2, 5).