Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, AC = 10, DC = 6, AA1 = 2, найти угол между прямыми AC1 и KL, где K - центр грани AA1D1D, а L - середина отрезка AB.

На данном рисунке имеем две пары равных треугольников. Во-первых — QTP и RSP. Треугольники равны по стороне и двум равным прилежащим углам - 2-ой признак (стороны РТ и РS равны по условию, углы РSR и QTP тоже равны по условию, угол QPR у них общий).

Также равны треугольники SMQ и ТМR, что вытекает из равенства двух других треугольников. Углы QSM и RTM равны, по св-ву смежных (если два угла равны, то смежные с ними углы равны). Углы SMQ и TMR равны, как вертикальные. Равенство углов PQT и PRS получаем из равенства треугольников QTP и RSP.

На данном рисунке имеем равные треугольники MKF и NPE. Они равны по стороне и двум прилежащим углам — 2-ой признак (равенство сторон KF и PE нам дано, углы MKF и NPE также равны по условию, а углы KFM и PEN равны по свойству смежных углов (если два угла равны, то смежные с ними углы равны).

На данном рисунке имеем:

1) равные треугольники AED и BED (по двум сторонам и углу между ними); равенство АЕ и ЕВ нам дано по условию, ED - общая сторона, углы AED и BED тоже равны по условию.

2) из равенства этих треугольников вытекает равенство треугольников АЕС и ВЕС (по двум сторонам и углу между ними); равенство АЕ и ЕВ нам дано по условию, ЕС - общая сторона, а углы АЕС и ВЕС равны по свойству смежных углов (если два угла равны, то смежные с ними углы равны).

3) из равенства этих треугольников вытекает равенство треугольников АDC и BDC (по двум сторонам и углу между ними); равенство АD и DB мы получаем из равенства треугольников AED и BED; сторона СD у треугольников общая, а углы ADC и BDC также равны из доказанного равенства треугольников AED и BED.

V = 24π см³.

Объяснение:

1. Сечение АА1В1В - прямоугольник (сечение параллельно оси цилиндра). => треугольник АВ1В - прямоугольный с гипотенузой АВ1 = 4√3 и острыми углами ∠В1АВ = 60° (дано) и ∠АВ1В = 30° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника).

Следовательно, катет АВ = 2√3 см (лежит против угла 30°).  

Катет ВВ1 = √(АВ1² - АВ²) = √(48 - 12) = 6 см. (это высота цилиндра).

2. Проведем высоту ОН в равнобедренном треугольнике ОАВ (ОА=ОВ=R - радиусы основания цилиндра). Отрезок ОН является и биссектрисой угла АОВ при вершине, значит ∠НОВ = 60°, а ∠НВО = 30°.

Тогда в прямоугольном треугольнике ОНВ катет НВ = АВ:2 = √3, катет ОН = ОВ:2 (лежит против угла 30°). И по Пифагору гипотенуза ОВ² = НВ² + ОВ²/4) => 3·ОВ² = 4·НВ²  =>

ОВ = 2см.

3. Итак, у нашего цилиндра радиус основания R = 2 см, а высота Н = 6 см. Тогда его объем

V = So·H = π·R²·H = π·4·6 = 24π см³.