Номер 218 докажите что луч CA , биссектриса угла C

Через две параллельные прямые AA1 и BB1 проходит плоскость.

Плоскости AA1BB1 и p пересекаются по прямой A1B1.

Все общие точки двух плоскостей лежат на этой прямой.

Следовательно точка O лежит на прямой A1B1.

Диагонали трапеции AA1BB1 пересекаются в точке O.

S(BOA1) =S(B1OA) =5

(Это свойство трапеции. Треугольники BAA1 и B1AA1 имеют общее основание и равные высоты (расстояние между параллельными), следовательно их площади равны. Вычитаем общую площадь AOA1

=> S BOA1=S B1OA.)

Треугольники BOA1 и AOA1 имеют общую высоту, следовательно их площади относятся как основания, 1:2.

S(BOA1)/S(AOA1) =1/2 => S(AOA1) =5*2 =10

Аналогично

S(BOB1)/S(B1OA) =1/2 => S(BOB1) =5/2 =2,5

S(AA1BB1) =5 +5 +10 +2,5 =22,5

Прямоугольный параллелепипед

- ребра из одной вершины взаимно перпендикулярны

- противоположные грани - равные прямоугольники

AC1=d, AB=X, AD=Y, AA1=Z

AB⊥(BBC1) => AB⊥C1B

d^2 =Z^2 + AC^2 (т Пифагора)

AC^2 =X^2 +Y^2

=> d^2 =X^2 +Y^2 +Z^2

В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех измерений.

∠C1AB =a, ∠C1AD=b, C1AA1=y

cosa =X/d, cosb =Y/d, cosy =Z/d

Возведем в квадрат и сложим:

cosa^2 +cosb^2 +cosy^2 =(X^2 +Y^2 +Z^2)/d^2 =d^2/d^2 =1

Сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице.