Катет прямокутного трикутника дорівнює 8см, а його проекція на гіпотенузу 4см.Знайдіть гіпотенузу трикутника​

ответ:(с - гіпотенуза, а - відомий катет, а(с) - проекція на цей катет)

a²=a(c) ×c

c=a²÷a(c)

c=8²÷4=64÷4=16см

Відповідь :гіпотенуза с =16см

Центр вписанной окружности треугольника - точка пересечения биссектрис.

В равностороннем треугольнике все биссектрисы являются также высотами и медианами.

h =a*sin60 =√3/2 a

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1 от вершины.

r =1/3 h =√3/6 a

a =6/√3 r =6/√3 *4√3 =24

Или

Точка пересечения биссектрис - центр вписанной окружности (O).

В равностороннем треугольнике все биссектрисы являются также высотами и медианами.

OH=4√3 (радиус), AC=2AH

В треугольнике (AOH) с углами 30, 90 стороны относятся как 1 :√3 :2

(катет против угла 30 равен половине гипотенузы, далее по теореме Пифагора)

AH=OH*√3 => AC=OH*2√3 =4√3 *2√3 =24

Общие касательные окружностей различных радиусов являются сторонами угла. Центры окружностей лежат на биссектрисе угла (так как окружности вписаны в угол). Отрезки касательных из одной точки равны, треугольники ATB и CTD равнобедренные, общая биссектриса является высотой, AB⊥TO₂, CD⊥TO₂, AB||CD.

Радиусы O₁A и O₂C перпендикулярны касательной AC, в треугольниках AO₁T и CO₂T угол при вершине T общий, ∠AO₁E=∠CO₂F. △AO₁E~△CO₂F по двум углам.

k=AO₁/CO₂ =12/20 =0,6
O₁E/O₂F =0,6

Через точку H проходит третья общая касательная, GH⊥TO₂. AG=GH, CG=GH (отрезки касательных из одной точки), AG=CG. GH параллельна AB и CD и делит EF в том же отношении, что и AC, то есть пополам, EH=FH.

EH=O₁H +O₁E =12+O₁E
FH=O₂H -O₂F =20-O₂F
12+O₁E = 20-O₂F <=> 0,6 O₂F= 8-O₂F <=> O₂F =8/1,6 =5

EF= 2FH =2(20-5) =30