Площадь треугольника равна 42 кв. см, а одна из высот - 14 см. Найти длину стороны, к которой проведена эта высота.

1) Из данной точки необходимо построить перпендикуляр на данную прямую. Затем провести прямую через точку под прямым углом к данному перпендикуляру. (Тогда мы сможем доказать параллельность прямых например по первому признаку, когда при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых се­ку­щей на­крест ле­жа­щие углы равны, так как эти углы будут по 90°)

2)эти углы будут по 90°, так как сумма внутренних односторонних при двух параллельных прямых и секущей всегда 180°, оба они разделены на равные (так так биссектрисы проведены). получается треугольник, в котором один угол - половина нижнего одностороннего, а второй - половина верхнего одностороннего, значит из сумма будет 180/2=90° (какими бы они ни были). Остается один угол в треугольнике, а сумма всех углов треугольника 180. Значит третий угол 90°. Это означает что все углы при пересечении данных биссектрис будут 90° в любом случае.

В данной трапеции
∠ADB = ∠CDB, так как диагональ BD является биссектрисой острого угла,
∠ADB = ∠CBD как накрест лежащие при пересечении AD║BC секущей BD, значит ∠CDB = ∠CBD, ⇒ BC = CD = 5 см.

Проведем высоту СН. В прямоугольнике АВСН АН = ВС = 5 см, СН = АВ = 4 см.

ΔCDH: ∠CHD = 90°, по теореме Пифагора
             HD = √(CD² - CH²) = √(25 - 16) = √9 = 3 см

AD = 5 + 3 = 8 см

При вращении трапеции вокруг основания ВС получается:
1) круг, с радиусом АВ = 4 см;
2) цилиндрическая поверхность с радиусом основания 4 см и образующей AD = 8 см;
3) коническая поверхность с радиусом основания 4 см и образующей CD = 5 cм.

S₁ = πR² = 16π см²
S₂ = 2πRH = 2π · 4 · 8 = 64π  см²
S₃ = πRl = π · 4 · 5 = 20π см²

S = S₁ + S₂ + S₃ = 16π + 64π + 20π = 100π cм²