4.Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 34°. 3.AB и AC – отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 8 см. Найдите длину OA и AC, если AB = 6 см. 5.На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 26°. Найдите угол NMB. ответ дайте в градусах

Задача: В треугольнике KPE сторона PE = 6. На стороне KE отмечена точка F так, что  PF = KP = 3√3, FE = 3. Найти углы ΔKPE.

Р-м ΔPEF:

Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон, такой треугольник прямоугольный.

    PE² = PF²+EF²

    6² = (3√3)²+3²

    36 = 27+9

    36=36

ΔPEF — прямоугольный, ∠F = 90°

Если один из катетов равен половине гипотенузе, он лежит напротив угла 30°

    FE = PE/2 = 3 ⇒ ∠FPE = 30°, тогда ∠PEF(E) = 60° (по теореме о сумме углов Δ).

Р-м ΔKPF:

∠PKF(K) = ∠FPK — из следствия равнобедренного треугольника (PF = KF)

∠PFK = 90° — как смежный с ∠PFE ⇒ ΔKPF — прямоугольный

    ∠PKF(K)+∠FPK = 180−∠PFK = 180−90 = 90°

    ∠PKF(K) = ∠FPK = 90/2 = 45°

Р-м ΔKPE:

    ∠K = 45°, ∠E = 60° ⇒ ∠P = 180−(∠K+∠E) = 180−(45+60) = 180−105 = 75°

ответ: ∠K = 45°, ∠E = 60°, ∠P = 75°.

Объяснение:

Средние линии треугольника - отрезки, соединяющие середины его сторон. Треугольник, образованный средними линиями, подобен исходному, поэтому отношение  сторон обоих треугольников одинаково. Если стороны исходного треугольника а, b, c, то средние линии  равны 0,5а, 0,5b и 0,5 с.

Соответственно,  0,5а:0,5b:0,5 с= а:b:с.

НО!

Треугольник с отношением сторон 2:2:4 не существует.  По теореме . о неравенстве треугольника любая его сторона меньше суммы двух других. По данному отношению 4=2+2  все вершины лежат на одной прямой.  (Треугольник, у которого все три вершины лежат на одной прямой, называется вырожденным - см. рисунок во вложении. ).

                             *     *     *

  В сети встречается  (и не раз!) задача, к которой дается решение без указания на неравенство треугольника, с таким условием:

Средние линии треугольника относятся как 2:2:4, а периметр треугольника равен 45 см. Найдите стороны треугольника.   Ход решения верный,  в ответе: а = b  = 11,25; c = 22,5 см.

Получается, что с=а+b.  Возможно, условие специально составлено так, чтобы решающий нашел  в нем указанную выше ошибку.