Втреугольник abc вписана окружность, которая касается стороны ab в точке c1, стороны bc в точке a1, стороны ca в точке b1. найдите периметр треугольника если ас1=3, ba1=5, cb1=2

вписанная окружность делит каждую сторону на отрезки, и по свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, эти отрезки равны, если имеют общую вершину треугольника в качестве конца :

ас1 = ав1 = 3, ва1 = вс1 = 5, са1 = св1 = 2.

поэтому сумма всех сторон равна удвоенной сумме трех различных таких отрезков, 

р = 2*(3 + 5 + 2) = 20

1)  учитывая, что отрезки касательных из внешней точки к окружности равны, получим рисунок, из которого видно ав1=ас1=3, ва1=вс1=5, св1=са1=2.

2) р=  ав1+ас1+ ва1+вс1+ св1+са1=6+10+4= 20.

ответ: 20. 

Проведем он⊥cd. он - проекция наклонной sh на плоскость основания, значит sh⊥cd по теореме о трех перпендикулярах. ∠sho = 60° - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к основанию. диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. ао = ос, bo = od. тогда sa = sc и sb = sd (так как наклонные, проведенные из одной точки, равны, если равны их проекции). δsab = δsad = δscb = δscd по трем сторонам. sбок = 4·sscd sabcd = ab²·sina = p · r, где р - полупериметр, r - радиус вписанной окружности. r = oh. 64·0,5 = (4·8)/2 · он 32 = 16·он он = 2 δsoh: sh = oh/cos60°               sh = 2 · 2 = 4 sscd = cd·sh/2 = 8·4/2 = 16 sбок = 4 · sscd = 4 · 16 = 64 кв. ед.  

1) m - cередина ad, m∈(abc), c∈(abc)  ⇒ проведем mc (b1c)∈(bcc1), m∈(add1), а  т.к. (add1)  ||  (bcc1), то секущая плоскость будет пересекать (аdd1) по прямой k, проходящей через точку м параллельно b1c. k пересечет аа1 в точке n, причем an=na1.  n∈(aa1b1) и b1∈(aa1b1)  ⇒ проведем nb1  mnb1c - сечение куба  2) mn || b1c, cm=b1n=√(a²-(a/2)²)=a√3/2  ⇒ mnb1c трапеция s (mnb1c)  = 1/2 (mn+b1c) * nh, где nh - это высота трапеции  b1c=a√2 /  2  mn = 1/2 b1c = a√2 / 4 b1h = 1/2 (b1c - mn) = a√2 / 4 nh =  √(b1n² - b1h²) = a√10 / 4 s (mnb1c) = 3 a²  √5 / 16