Найти объем цилиндра, который образуется вращениями прямоугольника со сторонами 3 см и 5 см вокруг большей стороны

сформулировать и доказать признак равенства прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу

 

 Пусть А и А1 - острые углы которые равны

В и В1 - вторая пара острых углов

угол В = 180-90-угол А = 90- угол А

угол В1= 180-90-угол А1 = 90-угол А1  Мы знаем что углы А и А1 равны по условию задачи, Значит углы В и В1 тоже равны 

К гипотенузе прилегают два острых угла.  Угол А1=углу А  угол В равен углу В1  гипотенузы у треугольников тоже равные

Получаем  что треугольники равны по стороне (гипотенузе) и двум прилегающим к ней углам. Что и требовалось доказать 

а) Постройте плоскость, проходящую через точки K, L и М - для этого надо просто соединить эти точки.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС.
Продлим отрезки КМ и KL до пересечения с плоскостью АВС. Для этого достаточно продлить стороны АС и АВ.
Точки пресечения - это Д и Е.
Примем длину отрезка АК за 1.
Из треугольника АКД отрезок АД = 1 / tg 60 = 1 / √3.
Аналогично АЕ = 1 / tg 45 = = 1 / 1 = 1.
Угол ЕАД равен 60 градусов (по заданию).
По теореме косинусов 

Находим гипотенузы в треугольниках АКД и АКЕ.

КЕ = √(1²+1²) = √2 (острые углы по 45 градусов).
Теперь определены 3 стороны в треугольнике КЕД, угол наклона которого к плоскости АВС надо найти.
Для этого двугранный угол между основой и треугольником КДЕ надо рассечь плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения ЕД.
Находим высоты в треугольниках АЕД и КЕД по формуле:

АЕ         ДЕ                 АД                  p                      2p               S =
1    0.8694729    0.5773503    1.2234116    2.446823135     0.25
 haе              hде                 hад
 0.5          0.57506            0.86603 

       КЕ                ДЕ              КД              p                2p               S =
1.4142136   0.869473   1.154701   1.719194    3.43839    0.501492
       hке                hде                     hкд
0.7092           1.15356              0.86861.
Отношение высот hде и  hде  - это косинус искомого угла:
cos α = 0.57506 / 1.15356 =  0.498510913.
ответ: α = 1.048916149 радиан =  60.09846842°.