Келешек-2030 ба Издательство ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС Г.Н.Солтан, А.Е.Солтан, А.Ж.Ж умадилова.

Дано
сторона основания  a=√3
боковое ребро         b = 3
Найти
площадь сечения,проведенного через сторону основания и середину противоположного бокового ребра пирамиды
Решение
Линия ,соединяющая вершину стороны основания с серединой противоположного бокового ребра пирамиды - это медиана боковой грани - m
Искомое сечение состоит из 2-х медиан и стороны основания. Это равнобедренный треугольник.
Найдем медиану по известной ф-ле
m = 1/2 √ ( 2(a^2+b^2) - b^2 ) = 1/2 √ ( 2a^2+b^2) =1/2 √ (2(√3)^2+3^2) =1/2 √15
полупериметр сечения p=P/2=(m+m+a)/2=m+a/2 =1/2 √15 +1/2 √3 =1/2 (√15 +√3)
площадь сечения по ф-ле Герона
S = √ ( p(p-a)(p-m)(p-m) )=(p-m)√ ( p(p-a) )=
   = (1/2 (√15 +√3) - 1/2 √15)√ ( 1/2 (√15 +√3) (1/2 (√15 +√3) -√3) )=
   = 1/2 √3 √ ( 1/2 (√15 +√3) * 1/2 (√15 -√3) )= 1/4 √3 √(√15^2 -√3^2)=
   =1/4 √3 √12=1/4 √(3*12) =1/4 *6 =3/2 (или=1.5)
ответ 3/2 (или=1.5)

Чтобы вычислить площадь полной поверхности параллелепипеда, нам не хватает значения его высоты.
Ее найдем, узнав меньшую диагональ по теореме косинусов. В прямоугольном треугольнике (высота в прямом параллелепипеде перпендикулярна сторонам основания) против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, то есть будем знать меньшую диагональ основания, меньшую диагональ параллелепипеда и узнаем высоту. Меньшая диагональ лежит против острого угла параллелограмма. Итак, по теореме косинусов, квадрат меньшей диагонали BD² =а²+b²-2*a*b*Cosα =
18+49-2*√18*7*√2/2 (острый угол равен 180°-135°=45°, Cos45°=√2/2) = 67-42=25.  Значит BD = 5см.
Тогда меньшая диагональ параллелепипеда BD равна 10см (лежит против угла 30°). Отсюда высота h по Пифагору равна √100-25 = 5√3см.
Вот теперь можно вычислить площадь полной поверхности параллелепипеда. Она равна удвоенной сумме площадей основания и боковых граней. То есть,
Площадь основания равна So=a*b*Sin45°=7*√18*√2/2=21см².
Sг1=5√3*√18=5√3*3√2 =15√6 см².
Sг2=7*5√3 =35√3см².
Sполн = 2*(21 + 15√6 + 35√3) = 42+70√3+30√6 cм².